Les intérêts composés

I. Deux banques, le même taux, et 2 473,33 € qui les séparent

Bruno, l'un des quatre ménages de Clairval dont le chapitre n°17 a tenu les comptes, met de côté 12 000 € cette année-là. Il les place vingt ans, à 3 % l'an. Deux banques lui font une offre, et toutes deux annoncent le même taux.

La première calcule l'intérêt chaque année sur les 12 000 € de départ, et cet intérêt ne rejoint jamais ce capital : 3 % de 12 000 €, soit 360 € par an, vingt fois, mis de côté sans rien rapporter. Le tableau ci-dessous additionne tout de même les deux, pour que les offres se comparent au même moment. C'est l'intérêt SIMPLE. La seconde ajoute l'intérêt au capital à la fin de chaque année, si bien que l'année suivante l'intérêt se calcule sur un capital plus gros. C'est l'intérêt COMPOSÉ.

Avant de lire la suite, réponds : d'après toi, au bout de vingt ans, l'écart entre les deux offres vaut-il quelques dizaines d'euros, quelques centaines, ou plus de deux mille ? Écris ta réponse. La plupart des gens sous-estiment, et ce chapitre existe pour cette raison.

Voici les deux comptes, à cinq dates. Les nombres sortent d'un seul modèle, et chaque ligne se refait à la main.

Regarde d'abord la première ligne, parce que c'est elle qui rend le piège possible : au bout d'UN an, les deux offres donnent exactement la même chose, 12 360 €. Rien ne distingue encore les deux banques. L'écart naît à la deuxième année et ne se referme jamais — il vaut 10,80 € à deux ans, 111,29 € à cinq ans, 527,00 € à dix ans, et 2 473,33 € à vingt ans.

Ce n'est pas une différence de degré, c'est une différence de NATURE. En simple, le capital gagne la même somme chaque année : il croît d'une quantité constante, c'est une suite ARITHMÉTIQUE, et son graphe est une droite. En composé, le capital est multiplié chaque année par le même facteur : c'est une suite GÉOMÉTRIQUE, et son graphe est une courbe qui s'incurve vers le haut. Deux mécaniques, pas deux réglages de la même mécanique.

Retiens l'ordre de grandeur plutôt que le nombre : sur vingt ans et à 3 % — un taux modeste —, composer ajoute plus d'un CINQUIÈME du capital de départ. Ce n'est ni magique ni anecdotique, et la section II dit d'où cela vient.

II. Pourquoi c'est une suite géométrique

Toute la différence tient en une phrase : en composé, l'intérêt REJOINT le capital. Il cesse d'être un revenu qu'on retire pour devenir une partie du capital qui travaille. C'est pourquoi on dit que les intérêts se capitalisent.

Suis une seule année. Au début de l'année, le capital vaut K. À la fin, la banque ajoute l'intérêt i × K, où i est le taux écrit en décimal — 3 % s'écrit 0,03. Le capital vaut donc K + i × K, c'est-à-dire K × (1 + i). Voilà le geste élémentaire, et il n'y en a pas d'autre : passer d'une année à la suivante, c'est MULTIPLIER par (1 + i).

Note bien ce que cette écriture change. Tant qu'on dit « on ajoute 3 % », on pense addition, et on prolonge naturellement par une addition répétée — c'est l'intérêt simple. Dès qu'on dit « on multiplie par 1,03 », la répétition devient une PUISSANCE, et la mécanique juste apparaît d'elle-même. Le chapitre n°12 a fait le même passage sur les prix, et le n°9 sur la croissance.

L'encadré ci-dessous construit la formule ligne à ligne. Elle ne tombe pas du ciel : elle se déduit du geste élémentaire, répété n fois.

Maintenant, la lecture qui rend la mécanique VISIBLE. Regarde ce que le capital gagne chaque année, année par année, et non plus le total. En simple, il gagne 360 € l'année 1, 360 € l'année 2, 360 € l'année 20 : c'est constant, par construction. En composé, il gagne 360 € l'année 1 — les deux coïncident, on l'a vu —, puis 370,80 € l'année 2, 381,92 € l'année 3, et 631,26 € l'année 20. L'intérêt de la vingtième année vaut à lui seul 1,75 fois celui de la première.

D'où vient ce 370,80 € de la deuxième année ? De 360 € d'intérêt sur les 12 000 € d'origine, PLUS 10,80 € d'intérêt sur les 360 € de la première année. Ces 10,80 € — l'intérêt de l'intérêt — sont exactement l'écart que le tableau de la section I affiche à deux ans. Tout le chapitre est dans cette ligne.

Un contrôle que tu dois savoir faire, parce qu'un correcteur le fait : la somme des vingt intérêts annuels, ajoutée au capital de départ, doit redonner le capital final. 12 000 € plus la somme des intérêts composés donne bien 21 673,33 €. Si les deux ne coïncident pas, l'erreur est dans le détail, pas dans la formule.

III. Le temps de doubler, et la règle qui le devine

Une question qu'on pose souvent, et qui a une réponse exacte : combien de temps un capital met-il à doubler, à taux constant ? Elle est plus intéressante qu'elle n'en a l'air, parce que la réponse ne dépend PAS du capital. Doubler 100 € ou doubler un million prend le même temps au même taux — c'est une propriété de la suite géométrique, pas du montant.

On cherche donc n tel que (1 + i)ⁿ = 2. Pour faire descendre n de son exposant, on prend le logarithme des deux côtés : n × ln(1 + i) = ln 2, donc n = ln 2 / ln(1 + i). À 3 %, cela fait 23,45 ans. Ce n'est pas un nombre entier d'années, et il n'y a aucune raison qu'il le soit.

Maintenant l'approximation que tout le monde emploie, et que peu savent justifier. Quand i est petit, ln(1 + i) est très proche de i. Le calcul devient n ≈ ln 2 / i, soit 0,6931 / i. En écrivant le taux en pourcentage plutôt qu'en décimal, cela donne 69,31 divisé par le taux — et l'on arrondit à 70, parce que 70 se divise plus commodément. C'est la fameuse règle de 70 : à 3 %, elle annonce 70 / 3 = 23,33 ans, contre 23,45 exacts.

Et voici ce qu'il faut savoir sur cette règle, parce que c'est presque toujours dit de travers : elle ne se trompe PAS toujours dans le même sens. Les deux approximations jouent à TOUT taux et en sens contraire : l'arrondi de 69,31 vers 70 gonfle le résultat, l'approximation ln(1 + i) ≈ i le réduit. Ce qui change avec le taux, c'est LAQUELLE l'emporte — la première en dessous, où la règle SURESTIME, la seconde au-dessus, où elle SOUS-estime. Les deux effets se compensent autour de 1,98 %, où la règle est juste à quelques jours près. En dessous elle surestime — à 1 %, elle annonce 70 ans pour 69,66 —, au-dessus elle sous-estime — à 12 %, elle annonce 5,83 ans pour 6,12.

C'est pourquoi les financiers, qui travaillent sur des taux plus élevés que les démographes, préfèrent la règle de 72 : elle bascule, elle, à 7,85 %, donc elle est calibrée sur la plage qu'ils pratiquent. Et 72 se divise par 2, 3, 4, 6, 8, 9 et 12, ce qui se calcule de tête. Le nombre choisi n'est pas une vérité mathématique : c'est le réglage d'une approximation sur une plage de taux.

La règle de 72 est d'ailleurs plus ancienne que le logarithme qui la justifie. Luca Pacioli la donne dans la Summa de arithmetica, publiée à Venise en 1494, sans la démontrer — signe qu'elle circulait déjà —, et il l'illustre sur un taux de 6 % : 72 divisé par 6 fait douze ans. La valeur exacte est 11,90 ans : sa règle surestimait d'un mois et quart, et l'on comprend maintenant pourquoi, puisque 6 % est en dessous de la bascule de 7,85 %.

IV. Le taux mensuel n'est pas le taux annuel divisé par douze

Voici la faute la plus fréquente de tout le sujet, et elle a exactement la forme de celle du chapitre n°17 : un calcul naturel, jamais interrogé, et faux. Un placement annonce 12 % l'an. Quel est le taux du mois ? Presque tout le monde divise par douze et répond 1 %.

Vérifie plutôt que de croire : si l'on gagne 1 % chaque mois et que ces intérêts se capitalisent, le facteur annuel vaut (1,01)¹², soit 1,126825. Le taux annuel n'est donc pas 12 %, mais 12,682503 %. On a gagné 0,682503 point de plus que ce qui était annoncé, sans que personne n'ait rien promis de tel.

Il faut donc distinguer deux taux, et le vocabulaire compte parce que les brochures l'emploient. Le taux PROPORTIONNEL est le taux annuel divisé par le nombre de périodes : 12 / 12 = 1 % par mois. Le taux ÉQUIVALENT est celui qui, composé douze fois, redonne EXACTEMENT le taux annuel annoncé : il vaut (1,12)^(1/12) − 1, soit 0,948879 % par mois. C'est la racine douzième — le même outil que le n°9 emploie pour le taux annuel moyen et le n°12 pour l'hyperinflation.

Le sens de l'écart, et il ne change jamais tant que le taux est positif : un taux proportionnel composé rend TOUJOURS plus que le taux annoncé, jamais moins. La raison tient à la mécanique de la section II — composer, c'est faire travailler les intérêts, et cela ne peut qu'ajouter. L'égalité n'arrive que dans un seul cas : quand il n'y a qu'une seule période dans l'année, où il n'y a rien à composer.

Et l'écart grandit dans les deux directions : avec le taux, et avec la finesse du découpage. On note p le nombre de périodes dans l'année — p = 12 pour des mois, 365 pour des jours —, et le taux annuel EFFECTIF, celui qu'on obtient vraiment, vaut (1 + i/p)^p − 1. Ici i est le taux ANNUEL, et i/p celui de la période. À partir de la section VII, où l'on travaille directement en mois, la lettre i désignera le taux de la PÉRIODE — regarde toujours ce que la lettre désigne avant de l'employer. C'est le nom que les énoncés emploient, et celui de la carte à apprendre. Le tableau ci-dessous prend 12 % l'an et découpe l'année de plus en plus fin. On y voit deux choses. D'abord que découper rapporte : de 12 % à 12,747462 % en passant de l'année au jour. Ensuite, et c'est plus surprenant, que le gain PLAFONNE : entre le jour et l'heure, on ne gagne plus que deux millièmes de point.

Ce plafond a un nom et une histoire. Quand le nombre de périodes tend vers l'infini, (1 + i/p)^p tend vers e^i — le taux effectif d'un placement à 12 % ne dépassera jamais e^0,12 − 1, soit 12,749685 %, quelle que soit la finesse du découpage. C'est en cherchant cette limite sur un placement à 100 % que Jacob Bernoulli rencontre en 1683 le nombre que l'on note e depuis Euler. Autrement dit : la capitalisation continue, dont on parle beaucoup, n'est que la version limite de ce tableau, et elle rapporte à peine plus que la capitalisation quotidienne.

Ce qu'un étudiant doit retenir pour sa copie : devant deux taux qui ne portent pas sur la même période, on ne compare RIEN tant qu'on ne les a pas ramenés à la même. Et pour les y ramener, on passe par les FACTEURS — on élève et on prend des racines —, jamais par une multiplication ou une division du taux.

V. Remonter le temps : la valeur actuelle

Jusqu'ici le chapitre est allé du présent vers l'avenir. La question inverse est au moins aussi utile : que vaut AUJOURD'HUI une somme qu'on touchera dans dix ans ?

Le raisonnement est le même, pris à l'envers. Si placer une somme pendant dix ans la multiplie par (1,03)¹⁰, alors disposer d'une somme dans dix ans équivaut à disposer aujourd'hui de cette somme DIVISÉE par (1,03)¹⁰. On appelle cela actualiser, et le résultat la valeur actuelle. Mille euros dans dix ans, à 3 %, valent 744,09 € aujourd'hui.

Ce n'est pas une opinion sur l'avenir, et cela n'a rien à voir avec l'inflation — la section IX s'en occupera séparément. C'est une équivalence de CALCUL : 744,09 € placés aujourd'hui à 3 % donnent exactement 1 000 € dans dix ans. Les deux sommes sont deux écritures du même objet, à deux dates.

Les deux opérations se défont l'une l'autre, exactement. Capitaliser une somme puis actualiser le résultat sur la même durée et au même taux redonne la somme de départ, au centime près. C'est le contrôle à faire quand on hésite sur le sens : si tu multiplies là où il fallait diviser, l'aller-retour ne retombe pas juste.

Et voici ce que l'actualisation ne dit pas, qu'on oublie souvent : le TAUX d'actualisation n'est pas donné par la nature. C'est un choix, et il commande tout le résultat. La même somme de 1 000 € à dix ans vaut 744,09 € actualisée à 3 %, et beaucoup moins à 8 %. Quand on te présente une valeur actuelle, la première question à poser n'est pas « combien ? » mais « à quel taux ? ».

VI. Verser tous les ans, et non une fois pour toutes

Jusqu'ici Bruno a placé une somme, une fois. Le cas le plus courant est autre : on verse un peu chaque année, pendant des années. Zoé, la jeune active du n°17, épargne 1 000 € par an. Que devient cette suite de versements au bout de vingt ans, à 3 % ?

La tentation est de capitaliser vingt mille euros sur vingt ans. C'est faux, et pour une raison simple : les vingt mille euros n'ont pas été là dès le début. Le premier versement travaille dix-neuf ans, le deuxième dix-huit, et le dernier — versé à la fin de la vingtième année — ne travaille pas du tout.

Il faut donc capitaliser chaque versement séparément, puis additionner. Cela fait vingt termes, dont chacun est le précédent multiplié par 1,03 : c'est une somme de suite géométrique, et elle a une formule fermée que l'encadré établit. Le résultat : 26 870,37 € pour 20 000 € versés, soit 6 870,37 € d'intérêts.

La convention compte, et un correcteur la demande. Ce calcul suppose des versements de FIN de période — le versement de l'année k arrive le dernier jour de l'année k. Si les versements arrivent en DÉBUT de période, chacun travaille un an de plus, et le résultat entier est multiplié par (1 + i) : 27 676,49 € au lieu de 26 870,37 €, soit 806,11 € d'écart pour la seule convention. Dis toujours laquelle tu retiens.

Ce que ce calcul rend visible, et qui est le vrai enseignement de la section : les deux leviers n'agissent pas de la même manière. Le VERSEMENT agit proportionnellement — le doubler double le résultat, 53 740,75 € au lieu de 26 870,37 € —, tandis que la DURÉE agit par une puissance. Double le résultat EXACT, non le 26 870,37 affiché : celui-ci donnerait 53 740,74 €, un centime de moins. C'est le piège de l'exercice 6 (b), sur un arrondi cette fois. Ne conclus pas trop vite que la durée l'emporte : à 3 %, commencer dix ans plus tôt ne donne que 47 575,42 €, MOINS que le versement doublé, et il faudrait douze ans et demi d'avance pour l'égaler. La puissance finit par gagner, mais elle met du temps, et le taux commande ce délai. Le premier versement, qui travaille dix-neuf ans, rapporte 753,51 € d'intérêts ; le dernier n'en rapporte aucun.

VII. Emprunter : la même suite, lue à l'envers

La section VI a capitalisé des versements vers un futur. Prends maintenant l'opération symétrique — actualiser une suite de versements —, et tu obtiens l'objet le plus courant de toute la finance des particuliers : un emprunt.

Commence par la question de la section V, posée non plus sur une somme mais sur une SUITE. Que vaut aujourd'hui la promesse de recevoir 1 000 € par an pendant vingt ans, à 3 % ? Chaque versement s'actualise séparément, et l'on somme : le résultat est 14 877,47 €. Vérifie-le par le contrôle que ce chapitre impose partout — capitalise ces 14 877,47 € pendant vingt ans à 3 %, et tu retrouves 26 870,37 €, le capital exact de la section VI. Les deux sections décrivent le même objet à deux dates.

Un emprunt, c'est cette équation lue à l'envers, et c'est tout. La banque te remet aujourd'hui une somme ; tu lui verses en échange une mensualité constante pendant n mois. Pour que l'échange soit équilibré au taux du prêt, le capital prêté doit valoir exactement la VALEUR ACTUELLE de tes mensualités. On connaît le capital et l'on cherche la mensualité : il suffit d'inverser la formule.

Applique-le à un prêt immobilier, chiffres pédagogiques : 200 000 € empruntés sur vingt ans — 240 mois —, au taux nominal de 3 %. Et voici où la section IV te rattrape : la banque applique le taux mensuel PROPORTIONNEL, 3/12 = 0,25 % par mois. Ce n'est pas une négligence de sa part, c'est la convention des prêts immobiliers français — et c'est précisément ce qui fera que le taux réellement supporté dépassera les 3 % affichés, comme la section VIII va le chiffrer.

La mensualité vaut 1 109,20 € — 1 109,195196 € exactement, et c'est cette valeur-là qu'il faut multiplier. Sur 240 mois, cela fait 266 206,85 € remboursés pour 200 000 € empruntés : le crédit coûte 66 206,85 €, soit un tiers du capital. Ne lis pas ce tiers comme un taux : il est le CUMUL de vingt ans d'intérêts, et le comparer aux 3 % annuels n'aurait aucun sens — ce sont deux grandeurs de natures différentes, l'une en euros, l'autre par an.

Ce que cette section rend visible, et qui vaut d'être dit : la mensualité n'est PAS le capital divisé par le nombre de mois. Cette division donnerait 833,33 €, et elle ignore que la banque est privée de son argent pendant vingt ans. L'écart, 275,86 € par mois, EST le prix du temps — et prends-le sur les valeurs EXACTES : 1 109,20 moins 833,33 donnerait 275,87, un centime de trop, parce que les deux affichages sont arrondis — et c'est le même objet que l'intérêt composé de la section II, vu depuis l'autre côté du guichet.

VIII. Ce que le taux affiché ne dit pas, et comment on le calcule

Le chapitre n°17 a posé, dans sa section VI, une leçon qu'il faut reprendre ici parce que c'est la même : entre un taux ANNONCÉ et un rendement TOUCHÉ s'intercalent toujours des conventions de calcul. Il l'a montrée sur les quinzaines du Livret A ; ce chapitre en donne la version générale.

Trois conventions changent le résultat sans changer le taux affiché. La PÉRIODICITÉ de composition, d'abord — la section IV l'a chiffrée : le même 12 % rend entre 12 % et 12,749685 % selon qu'on compose une fois l'an ou continûment. La DATE des flux, ensuite : la section VI a montré que verser en début ou en fin d'année change le résultat de 806,11 € sur vingt ans. Les FRAIS, enfin, qui ne figurent pas dans le taux mais se retranchent du capital.

C'est pour rendre ces offres comparables qu'on impose, sur les crédits, l'affichage d'un taux annuel EFFECTIF global — le TAEG. Son principe prolonge la section IV et emprunte l'outil de la section V : c'est le taux annuel qui rend NULLE la somme de tous les flux du crédit une fois actualisés — le capital reçu d'un côté, les échéances et les frais de l'autre. Ramener toutes les offres à cette même base rend enfin comparables deux nombres affichés.

Calcule-le sur le prêt de la section VII, et regarde ce qui se passe. Sans aucun frais, le TAEG vaut 3,0416 % pour un taux nominal affiché à 3 % : l'écart de 0,0416 point ne vient d'AUCUN frais, il vient uniquement de ce que la banque applique un taux mensuel proportionnel — c'est le calcul de la section IV, au millionième de point près. Ajoute les 1 000 € de frais de dossier, et le TAEG monte à 3,0987 %. L'écart total au taux affiché vaut 0,0987 point, et il s'EMPILE dans cet ordre : 0,0416 point pour la seule périodicité, puis 0,0572 de plus quand on ajoute les frais. Additionne ces deux affichages et tu trouves 0,0988, un dix-millième au-dessus du total : c'est l'arrondi, pas une erreur — les valeurs exactes sont 0,041596 et 0,057152, dont la somme fait bien 0,098748. Ne dis pas que le TAEG « additionne » deux causes. Mesurées SÉPARÉMENT — les frais seuls, la banque appliquant cette fois le taux équivalent — elles donnent 0,0416 et 0,0570, dont la somme, 0,0986, n'est pas tout à fait le total : il reste 0,000107 point d'interaction, soit un dix-millième. Deux causes qui agissent sur le même objet ne s'additionnent qu'à l'ordre près, et c'est vrai bien au-delà du crédit.

Une chose te surprendra, et il faut la dire : le TAEG ne se calcule PAS par une formule. On cherche le taux qui annule la somme des flux actualisés, et cette équation est de degré 240 — personne ne la résout à la main. On l'approche par essais successifs : on propose un taux, on regarde si la valeur actuelle des mensualités dépasse ou non ce que l'emprunteur a réellement reçu, et l'on resserre. C'est un calcul de machine, et le fait qu'il n'ait pas de forme close ne le rend ni approximatif ni suspect.

Ne demande pas au TAEG plus qu'il ne donne. Il ramène des offres à une base commune ; il ne dit pas si un crédit est une bonne idée, ni ce qui se passe si les taux changent, ni ce que coûte un remboursement anticipé. C'est un instrument de COMPARAISON, pas un jugement.

Et le réflexe de lecture, celui qui vaut pour toute ta vie de lecteur de brochures : quand deux taux sont affichés côte à côte, demande-toi d'abord s'ils portent sur la même période, ensuite s'ils composent à la même fréquence, enfin s'ils intègrent les mêmes frais. Trois questions, dans cet ordre. Le chapitre n°17 en posait trois du même genre sur les taux d'épargne ; ce sont les cousines de celles-ci.

IX. En euros constants : l'inflation se compose aussi

Il reste une chose à composer, et c'est celle qu'on oublie : les prix. Un capital qui grossit de 1,7 % par an pendant que les prix montent de 2,1 % par an ne s'enrichit pas — il rétrécit, lentement et sûrement.

Le chapitre n°17 a posé la règle et le chapitre n°11 avant lui : le rendement RÉEL se calcule par DIVISION, r = (1 + i)/(1 + π) − 1, jamais par la soustraction i − π. Et pour l'appliquer sur plusieurs années, il a posé la règle d'or : on élève le RAPPORT à la puissance n, jamais le rendement réel arrondi.

Applique-la aux 12 000 € de Bruno, non plus au taux pédagogique de 3 %, mais sur un vrai Livret A : 1,7 % servis, 2,1 % d'inflation. Le rendement réel vaut −0,391773 % par an — négatif, puisque les prix montent plus vite que le livret ne rapporte. Au bout de vingt ans, le capital vaut 12 000 × (1,017/1,021)²⁰, soit 11 093,93 € de pouvoir d'achat. Il a PERDU 906,07 €.

Et regarde bien ce qui s'est passé, parce que les deux lectures sont vraies en même temps et qu'un candidat doit les tenir ensemble. En EUROS, le capital a grossi : 12 000 × (1,017)²⁰ fait 16 811,26 €, il a gagné près de cinq mille euros. En POUVOIR D'ACHAT, il a fondu de 906,07 €. Ce n'est pas une contradiction : ce sont deux mesures différentes du même compte, et c'est exactement la distinction du chapitre n°6 entre nominal et réel.

La leçon générale du chapitre, et elle renverse l'idée reçue : l'intérêt composé n'est pas une force qui joue POUR l'épargnant. C'est une mécanique, et elle joue dans le sens du taux qu'on lui donne. Sur un rendement réel négatif, elle compose la perte avec la même régularité qu'elle composerait un gain. Sur une DETTE, elle travaille contre celui qui doit — Farid, le quatrième ménage du n°17, désépargne 500 € cette année-là ; laissés à courir vingt ans à 3 %, ces 500 € deviennent une dette de 903,06 €.

Ne conclus pas de cette section qu'un livret réglementé est un mauvais placement : ce chapitre ne compare rien, ne conseille rien, et la section X dit pourquoi. Il constate une mécanique de calcul sur des taux publiés à une date donnée.

X. Trois choses que ce calcul ne dit pas

Tout ce chapitre repose sur une hypothèse énorme, écrite nulle part jusqu'ici : le taux est CONSTANT. Il est temps de la mettre au jour, et de nommer ce que le calcul ne dit pas.

LE PREMIER SILENCE : le taux ne restera pas constant. Le Livret A lui-même est révisé deux fois par an — le n°17 l'a établi, il valait 1,5 % avant le 1ᵉʳ août 2026. Sur vingt ans, aucun taux d'aucun placement ne reste immobile. Le calcul de ce chapitre décrit donc une trajectoire HYPOTHÉTIQUE : « si le taux restait à 3 % », et non « voici ce que tu auras ». En copie, écris l'hypothèse avant le résultat ; un correcteur la cherche.

LE DEUXIÈME : il ne dit rien du RISQUE. Un taux annoncé n'est pas un taux touché. Même contractuellement garanti sur toute la période, il suppose que celui qui l'a promis puisse payer — une obligation d'entreprise porte un taux fixe et peut faire défaut. Et le Livret A ne garantit pas son taux du tout : il se révise deux fois l'an, sa garantie portant sur le CAPITAL. Hors des placements dont le CAPITAL est garanti, un rendement espéré s'accompagne donc d'une possibilité de perte en euros, que ce chapitre ne mesure pas et ne prétend pas mesurer. Et là même où le capital est garanti, la section IX l'a montré : le pouvoir d'achat, lui, ne l'est jamais. Une courbe qui monte régulièrement dessine une certitude qui n'existe pas.

LE TROISIÈME : il ne dit rien de ce que le détenteur peut FAIRE de son capital. La fiscalité prélève une part des intérêts, sauf exonération ; la liquidité — la possibilité de récupérer son argent quand on en a besoin — ne figure dans aucune de ces formules ; et une somme bloquée vingt ans n'a pas la même valeur d'usage qu'une somme disponible. Ces trois-là ne sont pas des raffinements : ce sont les raisons pour lesquelles on ne choisit jamais un placement sur la seule foi d'un exposant.

Et une prudence de méthode, celle que ce cursus répète depuis le chapitre n°9 : une croissance exponentielle prolongée assez loin donne toujours des nombres absurdes. Un centime placé à 3 % au début de notre ère vaudrait aujourd'hui environ 10²⁴ €, soit quelque deux milliards de fois la richesse du monde. Ce n'est pas un argument en faveur de l'épargne : c'est la preuve qu'aucun taux ne tient sur deux mille ans, et donc que l'extrapolation a une portée limitée. Le calcul est exact ; c'est son application qui demande du jugement.

XI. L'atelier : compose, et prédis avant de voir

Le tableau de la section I ne montre qu'un cas : 12 000 € à 3 % sur vingt ans. L'atelier te laisse déplacer les trois curseurs — le capital, le taux, la durée — et choisir la périodicité de composition. À chaque fois, PRÉDIS avant de regarder.

PREMIÈRE manipulation, celle qui vérifie la section I : mets la durée à 1 an. Simple et composé donnent exactement la même chose, quel que soit le taux et quel que soit le capital. Monte ensuite la durée d'un cran à la fois, et regarde l'écart s'ouvrir — d'abord imperceptiblement, puis massivement. Il n'existe aucune durée supérieure à un an, à taux positif, où les deux coïncident de nouveau.

DEUXIÈME : garde le capital et la durée, et double le taux. L'écart entre simple et composé fait bien plus que doubler — c'est la signature de la puissance. Essaie 3 % puis 6 % sur vingt ans, et compare les deux écarts.

TROISIÈME, la plus instructive, et elle se joue sur le bloc du BAS — celui de la périodicité, qui ne touche pas aux deux capitaux mais affiche le TAUX. Mets le taux à 12 % et passe de l'annuel au mensuel : le taux réellement obtenu monte de 12,000000 % à 12,682503 %. Passe au quotidien : 12,747462 %, à peine plus. Et la borne affichée ne bouge pas d'un millième — 12,749685 %, quel que soit le découpage. C'est la limite de Bernoulli de la section IV, rendue palpable : composer plus souvent rapporte de moins en moins, et jamais au-delà de e^i − 1.

Une chose que l'atelier ne fera pas, et c'est délibéré : il n'affiche aucune performance passée, aucun placement réel et aucune recommandation. Il calcule une formule sur des nombres que tu choisis, et rien d'autre.