Le producteur et ses coûts

I. Le prix du pain baisse : produire moins, ou fermer ?

Reviens sur la place de Clairval, à la boulangerie de Marius — celle dont le chapitre n°15 a suivi les journées. Une chose a changé depuis : le prix du pain n'est plus décidé par lui. Il sort du marché, comme le chapitre n°1 l'a montré, et Marius le SUBIT. Sa seule décision, chaque matin, est donc la quantité : combien de baguettes enfourner.

Ce matin-là, le prix est de 2 € et Marius produit 800 baguettes. Il encaisse 1 600 €. Ses coûts ? Il paie 200 € par jour qu'il produise ou non — le loyer du fournil, l'assurance, l'entretien du four —, plus la farine, le levain et les heures de travail, qui montent avec la quantité. Au total 1 000 €. Il gagne 600 € : la journée est bonne.

Puis une grande surface s'installe à la sortie de la ville, et le prix du pain tombe. À 1,20 €, Marius gagne encore 88 €. À 1 €, il gagne exactement zéro. Et à 0,80 €, il PERD 72 € dans la journée. La question qui commande tout ce chapitre est celle qu'il se pose alors, et elle n'a rien d'évident : faut-il fermer ?

Prends le temps de répondre avant de lire la suite, parce que l'intuition se trompe ici presque à tous les coups. La réponse est NON. À 0,80 €, Marius perd 72 € en produisant — mais s'il ferme, il perd 200 €, le loyer et l'assurance qu'il devra payer de toute façon. Produire lui coûte 128 € de moins que ne rien faire. Le piège est là : « je perds de l'argent » et « j'ai intérêt à fermer » sont deux phrases différentes, et il existe un intervalle de prix, parfois large, où la première est vraie et la seconde fausse.

Le programme du chapitre, en six questions. Pourquoi le coût monte-t-il quand on produit davantage, et depuis quand le sait-on (sections II et III) ? Quels sont les coûts d'un producteur — il y en a six, pas un (IV) — et pourquoi le coût moyen dessine-t-il un U (V) ? Quelle quantité produire à un prix donné, et pourquoi la règle est-elle P = Cm (VI) ? Où sont exactement les deux seuils que la question de Marius vient de faire surgir (VII) ? Que devient alors la courbe d'offre du chapitre n°1, qu'on avait tracée sans la justifier (VIII) ? Et que gagne vraiment un producteur, une fois retranché ce que son argent et son temps auraient rapporté ailleurs (IX) ? La section X lève enfin la contrainte qui tient tout le chapitre : le court terme.

II. Des terres de Ricardo au dessinateur de Viner

Le chapitre n°1 a posé la loi de l'offre — la quantité offerte monte avec le prix — et il en a donné la raison en une phrase : produire chaque unité supplémentaire coûte plus cher que la précédente. Cette phrase a une date, et quatre auteurs plutôt qu'un : en février 1815 paraissent coup sur coup les brochures de Malthus, West, Torrens et Ricardo, qui exposent la même idée — et James Anderson l'avait déjà formulée en 1777. C'est un cas d'école de découverte simultanée, et si l'usage a retenu le nom de Ricardo, c'est parce que c'est lui qui en a tiré un système complet. Dans son Essai sur l'influence du bas prix du blé sur les profits du capital, il raisonne sur les terres d'un pays : on cultive d'abord les meilleures, et quand il faut produire davantage, on met en culture des terres moins fertiles, où le même travail rend moins. Le coût de la dernière mesure de blé monte donc à mesure que la production s'étend. Il publiera deux ans plus tard, dans Des principes de l'économie politique et de l'impôt, la théorie de la rente qui en découle.

Retiens la forme de l'argument plus que son décor agricole, car c'est elle qui se transpose. Ricardo tient une chose FIXE — la terre disponible, et sa qualité — et fait varier ce qu'on y ajoute. C'est exactement ce que fait ce chapitre avec le fournil de Marius, qu'on n'agrandit pas dans la journée. Quand un facteur est fixe et qu'on augmente les autres, le rendement de chaque unité ajoutée décroît : c'est la loi des RENDEMENTS DÉCROISSANTS, que le chapitre n°1 a nommée et que la section III va faire fonctionner.

Le calcul, lui, arrive avec Augustin Cournot en 1838, dans les Recherches que le chapitre n°15 a déjà citées pour la demande. Cournot écrit non seulement la demande D = F(p), mais aussi le COÛT de production comme une fonction de la quantité, et il pose le problème sous sa forme moderne : choisir la quantité qui rend maximale la différence entre la recette et le coût. C'est le premier exposé SYSTÉMATIQUE de la question de Marius en équation plutôt qu'en prudence de marchand — von Thünen appliquait déjà le calcul à la marge en 1826, mais sur la rente et le salaire, non sur le couple recette-coût d'un producteur.

Marshall, en 1890, apporte la distinction sans laquelle ce chapitre ne se tiendrait pas : la PÉRIODE COURTE, pendant laquelle certains équipements ne peuvent pas changer, et la PÉRIODE LONGUE, où tout s'ajuste — y compris le nombre d'entreprises sur le marché. Tout ce que tu liras jusqu'à la section IX se passe en période courte. La section X lève la contrainte, et l'on verra que les courbes changent de forme.

Les courbes en U que ce chapitre va dessiner, enfin, doivent leur mise au point à un article de Jacob Viner en 1931, Cost Curves and Supply Curves. Il s'y attache une anecdote qui vaut mieux qu'un exposé, et qui est vraie. Viner voulait une figure où la courbe de coût moyen de long terme touche chaque courbe de court terme EN SON POINT LE PLUS BAS. Son dessinateur, un mathématicien, lui répondit que c'était impossible — et il avait raison : le point le plus bas d'un U a une tangente horizontale, elle ne peut donc pas épouser une courbe qui descend. Le dessinateur trace donc AUTRE CHOSE que ce qu'on lui demandait — et cet autre chose a son propre défaut : par endroits, les courbes de court terme y descendent SOUS la courbe de long terme, ce qu'une courbe de long terme, minorant toutes les autres, ne peut pas permettre. Viner publia la figure telle quelle, avec une note qui reconnaît ce défaut-là mais ne concède rien sur la consigne elle-même : il y écrit n'être pas parvenu à comprendre l'objection mathématique que lui opposait son dessinateur, ni à obtenir de celui-ci qu'il suive la consigne malgré tout. L'aveu que cette consigne était impossible vient vingt ans plus tard, dans une note supplémentaire datée de 1950 et publiée quand l'article fut repris en recueil — le dessinateur, Y. K. Wong, avait raison, et lui-même avait eu tort. Retiens la leçon de méthode autant que le résultat : l'objection était juste, et l'auteur ne l'a comprise qu'une génération plus tard. La section X te fera refaire le raisonnement de Wong.

Reste une question que ce chapitre ne traitera pas et qu'il faut savoir poser, parce qu'elle change le regard : pourquoi des ENTREPRISES ? Si le marché coordonne si bien, pourquoi les gens qui produisent du pain ne se vendent-ils pas leurs services les uns aux autres, contrat par contrat, au lieu de se rassembler sous un même toit et une même autorité ? Ronald Coase pose la question en 1937 dans The Nature of the Firm, et il répond par le COÛT DU RECOURS AU MÉCANISME DES PRIX : passer par le marché coûte quelque chose — découvrir quels sont les prix pertinents, négocier et conclure un contrat séparé pour chaque échange —, et l'entreprise existe là où l'organiser en interne coûte moins cher. L'expression « coûts de transaction », qu'on emploie aujourd'hui pour ces frottements, s'est fixée plus tard, dans le sillage de son article de 1960 sur le coût social ; elle n'est pas dans le texte de 1937. Un producteur n'est donc pas seulement une fonction de coût ; c'est aussi une réponse à une question de frontière. Le cursus y reviendra ; garde le nom.

III. Un facteur fixe, et le rendement qui décroît

Ouvre le fournil. Marius y dispose d'un four, d'un pétrin et d'une surface, qui ne changeront pas d'ici demain matin : ce sont ses FACTEURS FIXES. Il dispose aussi d'heures de travail, de farine et de levain, qu'il peut ajuster à volonté : ce sont ses FACTEURS VARIABLES. Toute la microéconomie de court terme tient dans cette asymétrie, et le chapitre n°1 l'avait annoncée en une parenthèse : « Raisonnement de court terme, à capacités fixes : c'est l'horizon de ce chapitre. »

Regarde ce que produit chaque heure de travail ajoutée. La première remplit le four sans peine. La deuxième aussi. À partir d'un certain point, le four est plein : il faut enfourner en deux tournées, attendre, se gêner dans quinze mètres carrés. Chaque heure supplémentaire rend donc un peu moins que la précédente. Ce n'est pas que le boulanger fatigue, et ce n'est pas que la farine soit moins bonne — c'est que le facteur FIXE est de plus en plus partagé. La loi des rendements décroissants n'est pas une loi de la nature humaine : c'est une propriété TECHNIQUE de la production quand un facteur est fixe, et elle ne vaut qu'À PARTIR d'un certain niveau — le paragraphe vient de le dire, « à partir d'un certain point, le four est plein ». Ne la prends surtout pas pour une conséquence arithmétique de la fixité : la troisième productrice de ce chapitre, à la section VII, a un four fixe et des rendements marginaux CROISSANTS jusqu'à sa 66ᵉ pièce. La fixité rend les rendements décroissants inévitables passé un seuil ; elle ne les impose pas dès la première unité.

Attention à ne pas la confondre avec les rendements d'ÉCHELLE, que la section X traitera. Les rendements décroissants supposent qu'on ajoute un facteur pendant qu'un autre reste fixe ; les rendements d'échelle demandent ce qui se passe quand on multiplie TOUS les facteurs à la fois — un second four, un second pétrin, un second local. La première question a une réponse presque toujours décroissante ; la seconde n'en a pas de générale, et c'est tout l'intérêt de la poser.

Traduis maintenant en euros, car c'est ainsi que le chapitre va travailler. Si chaque heure ajoutée produit moins de baguettes, alors chaque baguette de plus demande plus d'heures — donc coûte plus cher. Le rendement décroissant du côté de la production, c'est le COÛT MARGINAL CROISSANT du côté des comptes : les deux phrases disent la même chose vue de deux fenêtres. Le chapitre n°1 avait posé le mot ; la section IV va poser le nombre.

Le pont entre les deux fenêtres tient en une ligne, et il vaut mieux l'écrire que le croire. Appelle PRODUIT MARGINAL du travail, Pm, le nombre de baguettes que rend une heure de plus. Si le travail est la seule dépense variable et qu'il coûte w l'heure, alors une baguette de plus demande 1/Pm heure, donc coûte w/Pm euros : Cm = w / Pm. Le coût marginal est l'INVERSE du produit marginal, au salaire près — quand l'un descend, l'autre monte, mécaniquement. Ce n'est pas une analogie, c'est la même grandeur retournée.

Et le théorème que la section V va démontrer sur les coûts a son miroir exact de ce côté-ci : le produit MARGINAL coupe le produit MOYEN en son MAXIMUM, pour la raison symétrique — une moyenne monte tant qu'on lui ajoute des valeurs supérieures à elle, et redescend dès qu'on lui en ajoute d'inférieures. Un minimum d'un côté, un maximum de l'autre, et le même argument des deux. Si tu tiens l'un, tu tiens l'autre.

IV. Les six coûts, construits un par un

Un producteur n'a pas UN coût, il en a six, et la moitié des fautes de partiel consiste à répondre avec le mauvais. La bonne nouvelle est qu'ils se déduisent tous d'un seul, le coût total ; la mauvaise est qu'ils répondent à six questions différentes, et qu'il faut savoir laquelle est posée.

Les deux premiers découpent le coût total selon ce qui bouge. Le COÛT FIXE est ce que Marius paie même s'il ne produit rien : 200 € par jour. Le COÛT VARIABLE est ce qui n'existe que parce qu'il produit : farine, levain, heures. Leur somme est le COÛT TOTAL. Retiens le test qui les sépare, il ne trompe jamais : ferme l'atelier par la pensée, et regarde ce qui reste à payer.

Les trois suivants sont des MOYENNES, c'est-à-dire des coûts rapportés à une baguette. Le coût fixe moyen étale les 200 € sur la production du jour : il décroît sans fin, et c'est lui qu'on appelle « faire du volume ». Le coût variable moyen dit ce que coûte en moyenne la matière et le travail d'une baguette. Le COÛT MOYEN, somme des deux, dit ce que coûte une baguette tout compris — et c'est lui qu'on compare au prix pour savoir si l'on gagne de l'argent.

Le sixième est le plus important et le moins intuitif : le COÛT MARGINAL, la PENTE du coût total — soit, à une demi-baguette près, ce que coûte la DERNIÈRE baguette produite. Ni la moyenne, ni le total : la dernière. C'est le seul qui réponde à la question que Marius se pose vraiment le matin, qui n'est pas « combien me coûte mon pain ? » mais « ai-je intérêt à en faire une de plus ? ». Le chapitre n°1 l'avait déjà nommé, et il en avait même dit l'essentiel — la courbe d'offre est la courbe de coût marginal. La section VIII le démontrera.

Voici les six sur les nombres de Marius. Son coût total s'écrit CT = 200 + Q²/800 : les 200 € fixes, et un coût variable qui monte plus vite que la quantité, exactement comme la section III l'a expliqué. Le tableau ci-dessous les calcule à quatre productions ; l'encadré qui suit montre d'où sort chaque colonne. Lis d'abord la ligne des 800 baguettes, celle du matin de la section I : coût moyen 1,25 €, coût marginal 2,00 €, prix 2,00 € — et retiens que ces trois nombres-là racontent toute la journée.

V. Pourquoi le coût moyen dessine un U

Regarde la colonne du coût moyen dans le tableau de la section IV : 1,25 € à 200 baguettes, 1,00 € à 400, puis 1,25 € à 800 et 1,45 € à 1 000. Elle descend, touche un plancher, remonte. C'est le U, et il n'a rien de décoratif : sa branche descendante et sa branche montante sont deux forces distinctes qu'il faut savoir nommer.

La branche qui descend est l'étalement du coût FIXE. Les 200 € du fournil se répartissent sur de plus en plus de baguettes : 1,00 € chacune à 200 baguettes, 0,25 € à 800. C'est le seul sens honnête de l'expression « faire du volume », et note qu'elle ne dit rien de la qualité de la gestion : le même fournil, la même farine, le même boulanger.

La branche qui monte est le coût MARGINAL croissant de la section III. Passé un certain point, chaque baguette supplémentaire coûte assez cher pour tirer la moyenne vers le haut, et elle finit par l'emporter sur l'étalement du fixe. Entre les deux, il existe une quantité où les deux forces s'équilibrent : c'est le creux du U.

Voici maintenant le résultat qui surprend et qu'aucun étudiant ne devrait réciter sans l'avoir compris : LE COÛT MARGINAL COUPE LE COÛT MOYEN EXACTEMENT EN SON MINIMUM. Sur les nombres de Marius, le creux est à 400 baguettes, où le coût moyen vaut 1,00 € — et le coût marginal y vaut 1,00 € aussi. Ce n'est pas une coïncidence de nombres choisis, c'est une nécessité, et l'encadré ci-dessous la démontre. L'image qui la fait retenir : une moyenne baisse tant qu'on lui ajoute des valeurs INFÉRIEURES à elle, et remonte dès qu'on lui en ajoute de SUPÉRIEURES ; elle est donc au plus bas à l'instant précis où la valeur ajoutée l'égale. C'est vrai des notes d'un étudiant comme des coûts d'un boulanger.

Le même argument vaut, mot pour mot, pour le coût VARIABLE moyen : le coût marginal le coupe aussi en son minimum. La brique qui autorise le transport tient en une remarque — le coût FIXE ne dépend pas de la quantité, sa pente est donc nulle, et le coût variable a exactement la même pente que le coût total : Cm. Remplace CT par CV dans la ligne ci-dessus et tout se réécrit à l'identique. Retiens les deux, car la section VII en tire les deux seuils — le premier donne le seuil de rentabilité, le second le seuil de fermeture, et c'est tout le chapitre.

Attention à une propriété que Marius ne montre pas, et qu'il ne faut donc pas généraliser depuis lui. Son coût variable moyen (Q/800) MONTE dès la première baguette : il n'a pas de creux, et aucune quantité ne lui fait toucher sa valeur la plus basse, zéro : il ne fait que s'en approcher quand la quantité tend vers zéro. Cela tient à sa fonction de coût, choisie ici pour retrouver la courbe d'offre que le chapitre n°15 prêtait à Marius à sa section IX, et non à une loi.

Le cas ORDINAIRE est l'autre, celui que dessinent les manuels, et le chapitre te le montrera à la section VII — schéma compris —, sur l'atelier de poterie de Justine — la troisième productrice de la place de Clairval, après la conserverie d'Amélie que la même section présente — les exercices en convoqueront d'autres. Quand le coût marginal commence par DESCENDRE avant de monter — un four à céramique à demi rempli cuit presque aussi cher qu'un four plein —, le coût variable moyen dessine lui aussi un U, et son creux est à une quantité strictement positive. Le théorème vaut alors des deux côtés, visiblement : chez Justine, le coût marginal coupe le coût variable moyen en son creux, puis le coût moyen dans le sien. Retiens que la section VII fait dépendre les deux seuils de ces deux creux — et que la différence entre le cas de Marius et celui de Justine décide de la FORME de la courbe d'offre, à la section VIII.

VI. Combien produire : la règle P = Cm

Marius connaît maintenant ses coûts. Il lui reste à choisir sa quantité, et le raisonnement tient en une question répétée : cette baguette-là, la suivante, vaut-elle la peine d'être faite ? Elle rapporte le prix du marché, 2 €. Elle coûte son coût marginal. Tant que le second est inférieur au premier, la faire ajoute au profit ; dès qu'il le dépasse, elle en retranche. On s'arrête donc là où les deux s'égalisent : P = Cm. C'est LA règle du chapitre, et le chapitre n°15 l'annonçait en promettant « le VRAI optimum du vendeur ».

Applique-la. À 2 €, l'égalité 2 = Q/400 donne Q = 800 baguettes — exactement ce que Marius produisait à la section I. Vérifie qu'on ne peut pas faire mieux : à 700 baguettes, la SUIVANTE coûte 1,75 € et rapporte 2 €, il faut donc la faire ; à 900 baguettes, la suivante coûte 2,25 € et ne rapporte toujours que 2 €, il fallait s'arrêter avant. La même convention des deux côtés : Cm(Q) est ce que coûte l'unité qu'on hésite à ajouter quand on en a déjà Q. Le profit vaut 1 600 − 1 000 = 600 €, et aucune autre quantité ne fait mieux.

Le profit se LIT alors sur un graphique de coûts dès qu'on y ajoute la ligne horizontale du prix — fais-le à la main sur le schéma de la section V, il n'y figure pas. À la quantité choisie, mesure l'écart VERTICAL entre le prix et le coût moyen, multiplie-le par la quantité, et tu as le profit. À 800 baguettes, (2,00 − 1,25) × 800 = 600 € — le chiffre de la section I, retrouvé sans repasser par la recette ni par le coût total. Le profit est un RECTANGLE : sa hauteur est la marge unitaire, sa largeur la quantité. Le prix décide de la quantité par le coût MARGINAL, puis le coût MOYEN dit ce qu'on gagne dessus ; les deux courbes ont chacune leur métier, et c'est pourquoi il en faut deux.

Attention au piège le plus fréquent de tout le chapitre, et il est joli : on n'égalise PAS le prix au coût MOYEN. À 800 baguettes, le coût moyen de Marius vaut 1,25 € et le prix 2 € : il gagne 0,75 € par baguette. Un étudiant pressé en conclut qu'il devrait produire davantage, puisque chaque baguette rapporte. C'est faux, parce que la baguette suivante ne coûte pas 1,25 € — elle coûte son coût marginal, 2,00 € et plus au-delà. La moyenne dit ce qui est déjà fait ; le marginal dit ce qu'on s'apprête à faire. Une décision se prend toujours sur le second.

Maintenant, la dette. Le chapitre n°15 s'est refermé sur une formule qu'il n'a pas construite : la RECETTE MARGINALE, ce que la dernière unité vendue ajoute à la recette, Rm = P × (1 + 1/e), où e est l'élasticité de la demande adressée au vendeur — une élasticité NÉGATIVE, comme au chapitre n°15 : porte-la dans la formule avec son signe, sans quoi tu trouveras l'inverse. Avec les 0,25 EN VALEUR ABSOLUE que le n°15 prêtait à Marius, e vaut −0,25, donc 1 + 1/e = −3 et Rm = −3 P. Le signe dit quelque chose : à cette élasticité-là, vendre une unité de PLUS ferait BAISSER la recette, tant la baisse de prix nécessaire coûterait cher. Retiens-le comme un contre-exemple, et retiens sa conséquence : un vendeur qui CHOISIT son prix ne se place jamais là où sa recette marginale est négative, puisqu'il gagnerait à vendre moins. L'hypothèse du paragraphe suivant est tout autre. La règle générale de tout producteur n'est pas P = Cm, elle est Rm = Cm — produire tant que la dernière unité rapporte plus qu'elle ne coûte. Si Marius devait baisser son prix pour vendre une baguette de plus, cette baisse s'appliquerait aussi à toutes les précédentes, et la dernière lui rapporterait moins que son prix affiché.

Pourquoi, alors, écrit-on P = Cm dans ce chapitre ? Parce qu'on POSE que Marius subit le prix : la demande qui s'adresse à lui SEUL y est parfaitement élastique — s'il demandait un centime de plus, ses clients iraient chez le boulanger d'à côté ou à la grande surface. Quand |e| devient infinie, 1/e tend vers zéro, et Rm = P × (1 + 0) = P.

Cette hypothèse est NEUVE : ne la crois pas héritée du chapitre n°15. Celui-ci appelait Qd = 1 000 − 100 P la demande ADRESSÉE à l'étal de Marius, et lui trouvait une élasticité de 0,25 en valeur absolue à 2 € — le contraire d'une demande parfaitement élastique. Puis, à sa section IX, il a changé de cadre en faisant de la même équation la demande du MARCHÉ, et il a dit lui-même le prix de la manœuvre : « la confusion n'est légitime que sur un marché où PERSONNE ne choisit son prix ». C'est très exactement l'hypothèse posée ici, et elle est ce qui rend la règle P = Cm applicable à Marius : il est un boulanger parmi d'autres, et le prix du pain lui vient du marché comme au chapitre n°1. Vérifier l'hypothèse avant d'appliquer la règle : c'est le réflexe, et le vrai/faux le met à l'épreuve. La règle du chapitre est donc le cas particulier d'une règle plus générale, et il fallait le dire — un vendeur qui CHOISIT son prix, lui, produit là où Rm = Cm avec Rm inférieure au prix, ce qui est l'objet du chapitre « Le monopole », en L2.

VII. Les deux seuils, et pourquoi on les confond

Reviens à la question de la section I. Le prix tombe, Marius applique P = Cm et produit de moins en moins. À quel moment cesse-t-il de gagner de l'argent, et à quel moment a-t-il intérêt à éteindre le four ? Ce sont deux questions différentes, elles ont deux réponses différentes, et les confondre est la faute la plus répandue du sujet.

Le SEUIL DE RENTABILITÉ répond à la première. Marius gagne de l'argent tant que le prix dépasse son coût moyen — recette et coût, divisés par la même quantité. Le prix le plus bas auquel il puisse encore s'en tirer est donc le MINIMUM de son coût moyen, et la section V l'a calculé : 1,00 €, atteint à 400 baguettes. En dessous de 1 €, quelle que soit la quantité qu'il choisisse, il perd. Vérifie sur le tableau de la section I : à 1 €, son profit est exactement zéro.

Le SEUIL DE FERMETURE répond à la seconde, et c'est ici que l'intuition dérape. Fermer ne fait pas disparaître les 200 € du fournil : ils sont dus. La vraie comparaison n'est donc pas « gagne-t-il ou perd-il ? » mais « perd-il moins en produisant qu'en ne produisant pas ? ». Or produire rapporte la recette et coûte le coût VARIABLE ; le fixe, lui, est payé dans les deux cas. Le critère est donc : produire tant que la recette couvre le coût variable, c'est-à-dire tant que le prix dépasse le COÛT VARIABLE MOYEN. Le seuil de fermeture est le minimum de ce coût variable moyen — et non celui du coût moyen.

Ce que cela donne chez Marius : son coût variable moyen vaut Q/800, il monte dès la première baguette, et il descend vers zéro sans jamais l'atteindre. Marius ne ferme donc JAMAIS en période courte, si bas que tombe le prix. C'est ce que le tableau de la section I montrait sans le dire : à 0,80 €, il perd 72 € en produisant contre 200 € en fermant. Entre 0 € et 1 €, il est dans l'intervalle où l'on perd de l'argent et où l'on a pourtant raison de continuer — parce que chaque baguette vendue rembourse un morceau du loyer.

Ce cas est commode et il n'est pas général : il fallait un producteur où le seuil de fermeture MORD. Voici Amélie, qui tient la conserverie de Clairval. Elle paie elle aussi 200 € par jour, mais chaque bocal lui coûte au minimum 0,60 € de contenu et de verre, quelle que soit la quantité — son coût total s'écrit CT = 200 + 0,60 Q + Q²/200. Son coût variable moyen vaut 0,60 + Q/200 : il ne descend jamais sous 0,60 €. En dessous de ce prix, chaque bocal produit lui coûte plus que ce qu'il rapporte, et elle a intérêt à ne rien produire du tout. Son seuil de fermeture est 0,60 €, son seuil de rentabilité 2,60 € — le tableau ci-dessous les fait apparaître tous les deux. Un mot sur le seuil lui-même, parce qu'une copie s'y fait reprendre : à 0,60 € PILE, Amélie est INDIFFÉRENTE. La quantité qui égalise le prix et le coût marginal y est nulle, et elle perd ses 200 € qu'elle ouvre ou non. Le seuil est le prix à partir duquel produire devient strictement meilleur, pas celui où il l'est déjà.

Amélie fait MORDRE le seuil, mais elle partage encore avec Marius une particularité qu'il ne faut pas prendre pour la règle : son coût variable moyen MONTE dès le premier bocal : il n'a pas de creux, il descend le plus bas quand la quantité tend vers zéro. Le cas des manuels est le troisième, et c'est celui de Justine, qui tient l'atelier de poterie de la place. Elle paie 450 € par jour de coût fixe, et son coût total s'écrit CT = 450 + 4 Q − 0,04 Q² + Q³/5 000. Sa pente — le coût marginal, dont tout le reste de la section dépend — vaut donc Cm = 4 − 0,08 Q + 3 Q²/5 000 : dérive terme à terme, ou applique à chaque morceau la règle de la section IV. Garde-la sous les yeux, c'est elle qui donne tous les nombres qui suivent. Son four à céramique change tout : à demi rempli, il consomme presque autant qu'un four plein. Attention au raccourci, parce qu'il est tentant : à lui seul, un forfait de cuisson étalé sur plus de pièces ferait baisser le coût variable MOYEN, et pas le marginal. Si le coût marginal de Justine commence par DESCENDRE, c'est pour une autre raison — son produit marginal CROÎT sur les premières pièces, parce qu'on enfourne, on émaille et on décore par séries, et qu'une série se met en place une fois pour plusieurs pièces. Passé la 66ᵉ, l'effet s'inverse : le four se remplit, et le coût marginal remonte. Il commence donc par descendre avant de monter, et son coût variable moyen dessine un vrai U, dont le creux tombe à 100 pièces.

Ce que cela change, et ce n'est pas un détail de forme. Son coût variable moyen vaut 2,00 € au creux : c'est son seuil de fermeture, et il est atteint à 100 pièces — pas à zéro. Son coût moyen, lui, creuse plus loin, à 150 pièces, où il vaut 5,50 € : c'est son seuil de rentabilité. Ces 150 pièces, tu peux les VÉRIFIER sans pouvoir les trouver avec l'outil de la section V : sur un coût variable du troisième degré, Cm = CM se ramène à Q³ − 100 Q² = 1 125 000, une équation du troisième degré que ce chapitre ne cherche pas à résoudre. Substitue 150 et tu tombes juste — 3 375 000 − 2 250 000 = 1 125 000. Le creux de son coût variable moyen, lui, reste à ta portée : 2Q/5 000 − 0,04 = 0 donne 100 pièces. Et aucun exercice de ce chapitre ne te demandera de résoudre une cubique. Les deux creux sont donc à des quantités différentes et strictement positives, et le coût marginal passe exactement par les deux — sous le coût variable moyen à gauche de 100 pièces, entre les deux courbes de 100 à 150, au-dessus des deux ensuite. C'est le diagramme que tout manuel dessine, et il est là : le panneau de DROITE du schéma ci-dessous le trace, à côté de celui d'Amélie qui n'a pas de creux. La section VIII te dira ce qu'il fait à la courbe d'offre : chez Justine, et chez elle seule des trois, l'offre SAUTE au seuil.

Un mot enfin sur ce que « le coût fixe est dû » suppose, parce que la section entière repose dessus. Un coût fixe qui reste à payer quoi qu'il arrive est un coût IRRÉCUPÉRABLE : le bail signé pour l'année, la campagne de publicité déjà diffusée, le four sur mesure qui ne se revend pas. S'il ne l'est PAS — bail résiliable au mois, four d'occasion qui trouve preneur —, alors fermer fait vraiment disparaître la dépense, et l'argument qui sauvait Marius tombe : la comparaison redevient « est-ce que je gagne de l'argent ? », donc le seuil de rentabilité. Le seuil de fermeture n'est pas le minimum du coût variable moyen par magie ; il l'est parce que le reste est irrécupérable SUR L'HORIZON considéré. Retiens la question à poser avant tout calcul : de ces 200 €, combien disparaîtraient vraiment si l'on éteignait le four ?

Retiens la hiérarchie et la zone qu'elle ouvre, c'est la leçon de la section. Le seuil de fermeture est TOUJOURS inférieur ou égal au seuil de rentabilité, et l'argument demande trois inégalités plutôt qu'une — car les deux minima sont atteints à des quantités DIFFÉRENTES, et il faut passer par la même pour comparer. Note Q* la taille efficace : la valeur la plus basse du coût variable moyen est inférieure ou égale à ce que ce coût vaut EN Q*, lequel est inférieur au coût MOYEN en Q* (il s'y ajoute le coût fixe moyen), lequel est précisément le seuil de rentabilité. Entre les deux s'étend une plage de prix — chez Amélie, de 0,60 € à 2,60 € — où le producteur perd de l'argent et continue quand même, à bon droit. C'est dans cette plage que vivent, chaque hiver, une bonne partie des hôtels de montagne sans neige et des restaurants de bord de mer hors saison.

VIII. La courbe d'offre, enfin déduite

Le chapitre n°1 avait tracé une courbe d'offre croissante et l'avait justifiée en une phrase : la courbe d'offre EST la courbe de coût marginal, lue depuis l'axe des quantités. Il l'avait assortie d'une réserve, renvoyée à plus tard en toutes lettres : « en dessous d'un certain prix, un vendeur préfère ne rien produire du tout — l'offre n'est que la partie HAUTE de la courbe de coût marginal ». Nous y sommes, et les sections VI et VII ont tout ce qu'il faut pour tenir la promesse.

Le raisonnement tient en deux temps. Premier temps : à un prix donné, le producteur choisit la quantité qui égalise P et Cm — c'est la section VI. La courbe qui associe à chaque prix cette quantité est donc, point par point, la courbe de coût marginal. Second temps : encore faut-il qu'il produise. Sous le seuil de fermeture, il choisit zéro — c'est la section VII. La courbe d'offre est donc la partie CROISSANTE du coût marginal située au-dessus du seuil de fermeture, et rien en dessous. Le mot « CROISSANTE » n'est pas un ornement, et c'est Justine qui le prouve : son coût marginal vaut 4 € à la première pièce avant de descendre à 4/3 €, si bien que son arc DESCENDANT est lui aussi au-dessus de 2 € entre zéro et 33,33 pièces — sans être de l'offre pour autant. Oublier « croissante », c'est tracer une offre qui RECULE quand le prix monte : à 3 €, elle donnerait 13,96 pièces en plus des 119,37 qui sont la vraie réponse. C'est le contrôle de vraisemblance de la section VI : il ne s'ajoute pas après coup, il fait partie de la définition même de la courbe d'offre. La réserve du chapitre n°1 n'était pas une précaution de style : c'est la moitié du résultat.

Chez Marius, la déduction se fait au chiffre près, et il vaut la peine de la voir tomber. Son coût marginal vaut Q/400. La règle P = Cm s'écrit P = Q/400, soit Q = 400 P. Son seuil de fermeture est nul, donc rien n'est retranché : son offre est Qo = 400 P sur toute la plage des prix positifs. Or c'est exactement la courbe d'offre que le chapitre n°15 lui prêtait à sa section IX, sans la construire — et qui donnait l'équilibre à 2 € et 800 baguettes. La courbe n'était donc pas une hypothèse commode : elle était la conséquence d'une fonction de coût, et la voici.

Chez Amélie, la même construction laisse un COUDE, et il faut résister à la tentation de l'appeler une marche. Son coût marginal vaut 0,60 + Q/100, donc P = Cm donne Q = 100 (P − 0,60), et en dessous de 0,60 € elle ne produit rien. Regarde ce qui se passe AU seuil : la quantité 100 × (0,60 − 0,60) vaut zéro. L'offre part donc de zéro et monte continûment — collée à l'axe des prix jusqu'à 0,60 €, puis décollant sans saut. La courbe a un angle, pas une marche.

Chez Justine, en revanche, la marche existe pour de bon, et l'on voit d'où elle vient. Son seuil de fermeture, 2 €, est le creux de son coût variable moyen, et ce creux est à 100 pièces. À 1,99 € elle ne produit RIEN ; à 2 € exactement, la quantité qui égalise le prix et le coût marginal sur sa partie CROISSANTE vaut 100 pièces — l'équation en a une seconde, 33,33 pièces, sur la partie descendante, qui est un minimum de profit. L'offre passe donc de 0 à 100 d'un coup : elle SAUTE. Retiens la règle générale, elle tombe toute seule : l'offre d'un producteur saute au seuil de fermeture si, et seulement si, son coût variable moyen descend le plus bas à une quantité STRICTEMENT POSITIVE — c'est-à-dire si ce coût variable moyen est en U. Sinon elle a seulement un coude. Le tableau ci-dessous suit Justine des deux côtés de son creux.

Une fois la courbe déduite, sa loi de déplacement se lit sans effort, et elle règle une question que le chapitre n°1 laissait à l'intuition : DÉPLACE L'OFFRE CE QUI DÉPLACE LE COÛT MARGINAL — ou le seuil en dessous duquel elle s'annule, c'est-à-dire le coût variable moyen. Un coût FIXE ne touche ni l'un ni l'autre. Le prix de la farine monte : le coût marginal monte, l'offre recule. Un four plus efficace, une innovation, une subvention par unité PRODUITE : le coût marginal baisse, l'offre avance. En revanche, une taxe forfaitaire, un loyer qui augmente, une aide versée quoi qu'on produise ne touchent que le coût FIXE : ils déplacent le seuil de RENTABILITÉ — pas celui de fermeture, qui ne dépend que du coût variable moyen —, donc ils changent le prix à partir duquel l'affaire est viable, sans changer d'une unité la quantité produite tant qu'elle reste ouverte. C'est le contenu exact de la distinction entre coût fixe et coût variable, et l'exercice 7 le fait travailler.

Deux conséquences à retenir, parce qu'elles referment des questions posées ailleurs dans le cursus. La première : une droite d'offre prolongée jusqu'à l'axe des prix ne veut rien dire en dessous du seuil de fermeture — le chapitre n°1 l'avait pressenti en écrivant que son modèle était « MUET sur le coût des 100 premières tasses », et que sa droite « prolongée trop bas cesse de décrire quoi que ce soit ». Voilà pourquoi. La seconde : l'offre du MARCHÉ s'obtient en additionnant horizontalement les offres individuelles, exactement comme le chapitre n°1 additionnait les demandes des groupes d'acheteurs — les quantités, jamais les prix.

IX. Ce que gagne vraiment un producteur

Marius gagne 600 € dans sa bonne journée. Gagne-t-il vraiment 600 € ? La question n'est pas rhétorique, et la réponse d'un économiste diffère de celle d'un comptable — pas parce que l'un serait plus juste, mais parce qu'ils ne comptent pas la même chose.

Le PROFIT COMPTABLE est ce que Marius déclare : la recette moins les dépenses effectivement engagées. C'est le chiffre qui figure sur ses comptes, et c'est celui que le chapitre a calculé jusqu'ici. Le PROFIT ÉCONOMIQUE retranche en plus les COÛTS D'OPPORTUNITÉ : ce que les ressources engagées auraient rapporté dans leur meilleur autre emploi.

Rends-le concret. Marius travaille douze heures par jour dans son fournil et n'y touche aucun salaire — son travail n'apparaît nulle part dans ses 200 € de fixe ni dans sa farine. Ne va pas croire que le chapitre se contredit : les heures de travail que la section I range dans le coût variable sont celles qu'il PAIE. Les siennes, il ne se les paie pas, et c'est exactement pour cela qu'aucune ligne de coût ne les porte. C'est la garde que ce paragraphe finira par énoncer — la ressource est-elle DÉJÀ payée quelque part dans mes coûts ? —, appliquée ici au travail. S'il était salarié chez un autre boulanger, il gagnerait, disons, 150 € par jour. Il a par ailleurs immobilisé 100 000 € d'économies dans son four et son matériel — le local, lui, est LOUÉ, et ce loyer figure déjà dans les 200 € de coût fixe : il ne faut surtout pas le compter deux fois. Placés ailleurs à 3,65 % l'an, ces 100 000 € rapporteraient 3 650 € par an, soit 10 € par jour. Une simplification assumée, et il vaut mieux la voir : on compte ce que les 100 000 € rapporteraient AILLEURS, pas l'usure du four, que les 200 € couvrent en entretien mais pas en amortissement. Un compte complet l'ajouterait au coût, et le profit économique en serait diminué d'autant. Son profit ÉCONOMIQUE vaut donc 600 − 150 − 10 = 440 € : c'est ce que son affaire rapporte EN PLUS de ce qu'il obtiendrait en faisant autre chose. Ces chiffres-là sont d'illustration ; le raisonnement, lui, ne l'est pas. Et le contrôle à faire avant de retrancher quoi que ce soit : la ressource dont je compte le coût d'opportunité est-elle DÉJÀ payée quelque part dans mes coûts ? Un local loué ne s'ajoute pas ; le travail non salarié du patron, si.

Le chapitre n°5 avait rencontré exactement cette difficulté sans pouvoir la traiter, et il vaut la peine de faire le lien. Il expliquait qu'un entrepreneur individuel dégage un REVENU MIXTE, « et l'adjectif dit précisément le problème : impossible d'y séparer ce qui paie le travail du patron de ce qui rémunère son capital ». C'est la même chose vue par la comptabilité nationale : le coût d'opportunité du travail de Marius est justement la part de son revenu mixte qui rémunère son travail, et personne ne sait la mesurer de l'extérieur.

Un mot enfin sur un cas qui déroute et qu'il faut savoir nommer : le profit économique NUL. Une entreprise dont le profit économique est nul n'est pas une entreprise en difficulté — c'est une entreprise qui rapporte exactement ce que ses ressources rapporteraient ailleurs, ni plus ni moins. En concurrence, c'est même la situation vers laquelle on tend à long terme : tant qu'un secteur rapporte davantage qu'ailleurs, d'autres y entrent, l'offre du marché augmente, le prix baisse — jusqu'à ce que le supplément disparaisse. La section X dit à quel prix cela s'arrête.

X. Quand la contrainte se lève : le long terme

Tout ce qui précède se passe dans un fournil qu'on n'agrandit pas. Lève la contrainte, et le paysage change : à long terme, Marius peut acheter un second four, prendre un local plus grand, ou tout revendre. Marshall appelait cela la période LONGUE, et sa définition n'est pas une durée en mois — c'est le délai au bout duquel plus aucun facteur n'est fixe.

Première conséquence, et elle est radicale : à long terme, il n'y a plus de coût fixe. Le loyer du fournil devient un choix, donc un coût variable comme un autre. La distinction entre seuil de rentabilité et seuil de fermeture, qui faisait toute la section VII, s'évanouit avec lui : les deux se confondent, puisque ne rien produire coûte alors zéro. Un producteur qui perd de l'argent à long terme ferme, sans hésitation ni paradoxe.

Deuxième conséquence : la question des rendements change de nature. On ne demande plus ce que rend une heure de plus dans un fournil donné, mais ce que rend un fournil DEUX FOIS plus grand. Trois réponses sont possibles, et aucune n'est universelle. Les RENDEMENTS D'ÉCHELLE CROISSANTS — doubler tous les facteurs plus que double la production — expliquent qu'une grande boulangerie industrielle produise moins cher que Marius. Les rendements CONSTANTS décrivent une activité qu'on réplique à l'identique. Les rendements DÉCROISSANTS apparaissent quand la taille amène ses propres frottements, de coordination et de contrôle — et c'est très exactement la limite que Coase pointait en 1937 : si l'entreprise était toujours moins chère que le marché, il n'y aurait qu'une entreprise au monde.

Troisième conséquence, la plus visuelle. À chaque taille d'atelier correspond une courbe de coût moyen de court terme, en U. Le coût moyen de LONG TERME est ce qu'on obtient en choisissant, pour chaque quantité, la taille d'atelier la moins chère : c'est la courbe qui longe toutes les autres par en dessous, et on l'appelle une ENVELOPPE.

Le schéma ci-dessous le montre sur trois fournils possibles pour Marius, dont le sien. Le petit a un coût fixe de 150 € et un coût variable de Q²/150, si bien que son coût moyen creuse à 2,00 € pour 150 baguettes ; le moyen, 180 € de fixe et Q²/500, creuse à 1,20 € pour 300 baguettes ; le grand est le fournil actuel de Marius — 200 € de fixe et Q²/800, creux à 1,00 € pour 400 baguettes, le seuil de rentabilité de tout le chapitre. Les trois fonctions sont données pour que tu puisses refaire les bascules toi-même : elles tombent à 80,18 et 163,30 baguettes. En bas de chaque quantité, la courbe la plus basse dit quel fournil choisir : le petit jusqu'à 80 baguettes environ, le moyen jusqu'à 163, le grand ensuite. Regarde bien où l'on abandonne chaque atelier : à 80 baguettes pour le petit, dont le creux est à 150 ; à 163 pour le moyen, dont le creux est à 300. Sur toute la partie descendante, on quitte un atelier AVANT d'avoir atteint son minimum — c'est le résultat de Wong, lu sur un dessin plutôt que récité.

Une précision de vocabulaire, parce que le mot « enveloppe » promet plus que ce que trois courbes peuvent tenir. Avec trois tailles seulement, la courbe de long terme est FESTONNÉE : elle est faite de trois arcs et de deux angles, et elle ÉPOUSE un arc entier de chaque courbe au lieu de la toucher en un seul point. La véritable enveloppe, lisse et TANGENTE à chaque courbe, suppose un continuum de tailles — c'est-à-dire qu'on puisse choisir son fournil au mètre carré près. Le raisonnement de Wong porte sur ce cas-là ; le dessin ci-dessous en donne la version à trois tailles, qui suffit à voir le mécanisme.

C'est ici qu'intervient le dessinateur de la section II, et son objection mérite d'être refaite. Viner voulait que l'enveloppe touche chaque courbe de court terme en son POINT LE PLUS BAS. Refais le raisonnement de Wong : au point le plus bas d'un U, la tangente est HORIZONTALE. Si l'enveloppe touche la courbe en ce point, elle y est donc horizontale elle aussi — et elle ne peut pas, au même endroit, descendre. Tant que l'enveloppe descend, elle touche donc chaque U sur sa branche GAUCHE, avant le creux ; tant qu'elle monte, sur sa branche DROITE. Retiens l'équivalence, elle est exacte dans les deux sens : l'enveloppe touche une courbe de court terme en son creux si, et seulement si, elle est elle-même horizontale en ce point. Le cas ordinaire — une enveloppe en U — n'a qu'un tel point, son propre minimum, la TAILLE EFFICACE de long terme. Mais si les rendements d'échelle sont CONSTANTS, l'enveloppe — le mot suppose ici le continuum des tailles, comme le paragraphe précédent vient de le préciser — est horizontale partout, et elle passe alors par le creux de CHAQUE courbe de court terme : ce n'est pas une exception au théorème, c'est son autre cas. La conclusion à retenir est donc conditionnelle, et c'est ce qui la rend juste : partout où le coût de long terme varie encore avec la quantité, un atelier bien choisi ne tourne PAS au minimum de son coût moyen de court terme.

Une dernière chose à savoir sur ce chapitre, et le cursus la construira ailleurs. Rien de ce qui précède ne dit combien d'entreprises il y a sur le marché, ni si le prix qu'elles subissent est celui de la concurrence. « La concurrence parfaite » puis « Le monopole », en L2, prennent la suite exactement là — le premier montre que le prix de long terme s'établit au minimum du coût moyen, le second ce qui arrive quand un seul producteur choisit son prix. Une précision qui vaut d'être faite ici, parce que les nombres de ce chapitre la réclament : ce coût moyen-là est le coût moyen ÉCONOMIQUE, coûts d'opportunité COMPRIS, et non celui que la section IV a construit. À 1,00 €, le fournil de Marius couvre exactement ses dépenses — profit comptable nul — mais pas les 160 € que son travail et son argent lui rapporteraient ailleurs. Le prix qui annule son profit ÉCONOMIQUE est donc plus haut que le 1,00 € du schéma ci-dessous : dans SON fournil actuel — c'est donc encore du court terme —, ses 160 € rejoints au coût fixe donnent un coût moyen de 360/Q + Q/800, dont le creux vaut 1,34 € à 537 baguettes. Retiens la distinction plutôt que le nombre : c'est le profit ÉCONOMIQUE qui tend vers zéro, jamais le comptable, et le seuil de rentabilité calculé à la section VII est comptable.

XI. L'atelier : fixe le prix, décide, puis compte

Tout le chapitre tient en une décision répétée : à ce prix-là, combien produire — et faut-il seulement produire ? L'atelier ci-dessous te la fait prendre. Tu choisis le producteur, tu fixes le prix du marché, et tu décides toi-même : produire ou fermer. Rien ne se révèle avant que tu aies tranché ; ensuite l'atelier calcule les deux, et te dit ce que ta décision a coûté ou rapporté.

Quatre choses à essayer, dans cet ordre. D'abord, chez Amélie, descends le prix sous 2,60 € : tu la verras perdre de l'argent, et tu vérifieras que produire reste pourtant la bonne décision, jusqu'à 0,60 € exclu. Ensuite, passe sous 0,60 € : le verdict s'inverse, et fermer devient la réponse juste. Troisièmement, fais la même descente chez Marius : tu ne trouveras aucun prix du curseur où il ait intérêt à fermer, et la section VII dit pourquoi. Enfin, chez Justine, encadre 2 € : à 2,20 € elle produit, à 1,80 € elle ferme — et regarde la QUANTITÉ sauter d'un coup au passage, au lieu de fondre progressivement comme chez les deux autres. C'est la marche de la section VIII, vue de l'intérieur.

AU seuil exactement — 0,60 € chez Amélie, 2,00 € chez Justine —, les deux réponses se valent au centime près : le producteur perd son coût fixe qu'il ouvre ou non. L'atelier le dit et ne compte alors AUCUNE erreur, quelle que soit ta décision. Un seuil est le prix à partir duquel produire devient strictement meilleur, jamais celui où il l'est déjà. SOUS le seuil, les deux lignes du tableau affichent les mêmes montants, et ce n'est pas un défaut : à ces prix-là, la meilleure quantité est ZÉRO, donc produire au mieux revient à ne rien produire. Marius, dont le seuil de fermeture est nul, n'a aucun prix au-dessous. Chez Amélie, la raison est simple : son coût marginal ne descend jamais sous 0,60 €, donc sous ce prix aucune quantité n'égalise P et Cm. Chez Justine, c'est plus riche, et cela vaut d'être refait au crayon. Son coût marginal ne descend jamais sous 4/3 €, soit 1,33 € en arrondi, si bien qu'en dessous la règle P = Cm n'a pas de solution non plus. Mais entre 4/3 € et son seuil de 2,00 €, elle en a DEUX, toutes deux positives : à 1,80 €, 38,78 et 94,56 pièces. La section VI dit laquelle retenir — celle qui tombe sur la partie CROISSANTE du coût marginal, l'autre étant un minimum de profit — et pourtant, même la meilleure des deux ferait perdre 469,47 € quand fermer n'en coûte que 450. Ces nombres-là, l'atelier ne te les montrera pas : sous le seuil il sert directement la quantité ZÉRO, si bien que les deux lignes affichent 0 pièce et, chez Justine, la même perte de 450 €. Ce sont des contrefactuels, à refaire à la main. La règle P = Cm ne survit donc pas au seuil de fermeture, et c'est exactement pour cela que la section VIII ne garde du coût marginal que sa partie HAUTE. La réponse attendue reste « fermer », parce que c'est le nom qu'on donne à une production nulle.

L'atelier compte les TYPES d'erreur plutôt que les points : se tromper une fois est un accident, se tromper deux fois dans la bande où l'on perd sans devoir fermer est une lacune, et il te le dit.