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Le multiplicateur monétaire
D'où sort le 1/r des manuels — et pourquoi c'est un plafond, jamais une prédiction.
plafond : m = 1/r · observé : m = (1 + c)/(c + e)Énoncé / motivation
Un manuel sur deux enseigne cette formule : si les banques doivent garder 10 % des dépôts en réserve, chaque euro émis par la banque centrale en soutient 10. En zone euro, le taux de réserves obligatoires est de 1 % : le multiplicateur devrait donc y valoir 100. Le sondage ci-dessous te demande ce qu'il vaut réellement — et c'est l'écart entre ces deux nombres qui fait tout le cours.
Trois mots avant de commencer, car tout le cours repose sur la distinction entre deux monnaies. La BASE MONÉTAIRE est la monnaie émise par la banque centrale : les billets, et les RÉSERVES que les banques détiennent sur leur compte chez elle — une monnaie qui ne circule qu'entre banques. La MASSE MONÉTAIRE, elle, est ce que les agents non bancaires peuvent dépenser : billets et dépôts (cours « Les fonctions et agrégats de la monnaie »). Le multiplicateur est le rapport entre les deux : combien de masse par euro de base.
Ce cours fait trois choses, dans cet ordre. Il CONSTRUIT le 1/r au lieu de l'annoncer — presque personne ne vous a montré d'où il sort, et il sort d'une addition infinie qui se referme en trois lignes. Il montre ensuite que ce nombre est un PLAFOND, obtenu en annulant deux fuites bien réelles. Puis il chiffre l'écart entre ce plafond et le réel, et dit à quelle condition le modèle mordait vraiment. Ce qu'il ne fait pas : trancher le sens de la causalité — les réserves précèdent-elles les crédits, ou l'inverse ? C'est l'objet du cours « La création monétaire », qui regarde l'opération telle qu'elle est enregistrée au bilan d'une banque.
Hypothèses
À ton avis, quelles hypothèses faut-il poser pour que ce modèle tienne ? Note tes idées — aucune piste n'est mauvaise, c'est ton plan de travail.
Ton plan de travail est encore vide. Lance-toi : propose au moins une idée.
0 idée(s) proposée(s)Formalisation
Suivons 200 milliards d'euros de base monétaire, avec r = 10 %. VAGUE 0 : la somme arrive en dépôt dans une banque A, qui garde 10 % — 20 Mds — et peut prêter les 180 restants. VAGUE 1 : l'emprunteur dépense ces 180 Mds, qui reviennent en dépôt chez une banque B (hypothèse 2). B garde 18 et prête 162. VAGUE 2 : 162 reviennent ailleurs, dont 16,2 gardés et 145,80 prêtés. Regarde la mécanique : chaque vague vaut la précédente MULTIPLIÉE par (1 − r) = 0,9. Le total des dépôts créés dans le système est donc 200 × [1 + 0,9 + 0,9² + 0,9³ + …] — une addition sans fin, qu'il faut savoir fermer.
Voici la démonstration qui manquait, et c'est exactement l'astuce du cours « Le multiplicateur budgétaire » — une seule technique pour les deux cours, seule la raison change (c là-bas, 1 − r ici). Appelons S le total pour 1 € de base : S = 1 + (1−r) + (1−r)² + (1−r)³ + … Multiplions S par (1−r) : (1−r)·S = (1−r) + (1−r)² + (1−r)³ + … — c'est exactement S, moins son premier terme. Donc (1−r)·S = S − 1. Réarrangeons : S − (1−r)·S = 1, soit S·[1 − (1 − r)] = 1, et comme 1 − (1 − r) = r, il reste **S·r = 1, donc S = 1/r**. Trois lignes, et le multiplicateur est né : m = 1/r. À r = 10 %, m = 10 — les 200 Mds de base soutiennent 2 000 Mds de dépôts, dont 1 800 créés par le crédit. Et pourquoi cette addition sans fin donne-t-elle un total FINI ? Parce que 1 − r est inférieur à 1 : les vagues fondent, comme 1 + ½ + ¼ + … qui vaut 2 et non l'infini.
Relis maintenant les hypothèses 2 et 3 : chaque euro prêté revient en dépôt, et rien ne fuit — ni billet gardé en poche, ni réserve excédentaire. Le 1/r n'est donc pas une prévision, c'est le MAXIMUM atteignable, obtenu quand aucune banque ne garde un euro de trop et que personne ne détient d'espèces. Dire « le multiplicateur vaut 100 » est aussi faux que de dire qu'une voiture bridée à 200 km/h roule à 200. Et le modèle est lent, en plus d'être maximal : à r = 10 %, il faut 22 vagues pour atteindre 90 % de l'effet (0,9²² ≈ 0,098) — chacune demandant le temps d'être prêtée, dépensée, redéposée.
Rétablissons ce que l'hypothèse 3 avait annulé. Notons c la part que le public garde en BILLETS, rapportée aux dépôts, et e la part que les banques détiennent réellement en RÉSERVES, rapportée aux dépôts elle aussi — r n'en est que le minimum légal. Alors tout se recompte : la base monétaire vaut billets + réserves, soit dépôts × (c + e) ; la masse vaut billets + dépôts, soit dépôts × (1 + c). Leur rapport donne **m = (1 + c) / (c + e)**. Deux remarques décisives. D'abord ce n'est PAS un modèle rival : c'est une IDENTITÉ, la décomposition du multiplicateur réellement observé — et le modèle du manuel en est le cas particulier c = 0 et e = r, qui redonne bien (1 + 0)/(0 + r) = 1/r. Ensuite, regarde où sont les fuites : au DÉNOMINATEUR. Toute réserve gardée en trop, tout billet thésaurisé le gonfle, donc écrase le multiplicateur. Clique chaque terme :
Résolution / calcul
Trois passages : la cascade jouet menée jusqu'à son total, la confrontation aux chiffres réels de la zone euro, puis la décomposition exacte de l'écart. Le jouet (base 200, r = 10 %) est choisi pour tomber juste ; les chiffres de la zone euro sont ceux de la BCE, fin mai 2026.
- 1. Les quatre premières vagues (base 200, r = 10 %)
200 + 180 + 162 + 145,80687,80 Mds € — et ce n'est que le début - 2. Le total, par la somme du récit
m = 1/r = 1/0,10 = 10 ; dépôts = 200 × 102 000 Mds €, dont 1 800 créés par le crédit - 3. Ce que les 4 vagues représentent du total
687,80 / 2 00034 % — les 66 % restants sont dans la traîne - 4. Le temps que cela demande
0,9ⁿ ≤ 0,1, soit n ≥ ln 0,1 / ln 0,922 vagues pour atteindre 90 % de l'effet - ⭐ 5. Le plafond, appliqué à la zone euro (r = 1 % depuis 2012)
m = 1 / 0,01100 : chaque euro de base devrait soutenir 100 € de masse - ⭐ 6. Le multiplicateur RÉELLEMENT observé
M1 / base monétaire = 11 328 / 3 9972,83 — le plafond est 35 fois au-dessus - 7. Les deux fuites, chiffrées sur les mêmes comptes
billets/dépôts : 1 606/9 722 ‖ réserves/dépôts : (3 997 − 1 606)/9 722 = 2 391/9 722c = 16,5 % et e = 24,6 % — soit 25 fois le minimum exigé - 8. L'identité du temps 4 redonne EXACTEMENT l'observé
(1 + 0,165) / (0,165 + 0,246)2,83 ✓ — une identité, pas une approximation - 9. Contrôle par l'absurde : et si les fuites étaient nulles ?
masse = base × 100 = 3 997 × 100399 700 Mds € de M1 — trente-cinq fois le M1 réellement observé : ce sont bien les FUITES qui font le réel
Trois choses à emporter. (1) Le 1/r n'est pas une convention : c'est la somme d'une suite géométrique de raison (1 − r), fermée en trois lignes par la même astuce que le multiplicateur budgétaire. (2) C'est un PLAFOND, et il suppose deux fuites nulles — or elles ne le sont pas : les banques de la zone euro gardent 24,6 % des dépôts en réserves quand 1 % est exigé, et le public 16,5 % en billets. (3) La formule à fuites n'est pas un modèle concurrent mais l'identité qui décompose le multiplicateur observé, dont le manuel est le cas limite c = 0, e = r. Reste une question que ce cours ne tranche pas : les réserves commandent-elles les crédits, ou l'inverse ? Le cours « La création monétaire » l'instruit au bilan.
plafond = 1/r · effectif = (1 + c)/(c + r + excédentaires)Les curseurs démarrent sur le monde du manuel : les deux fuites à zéro. Regarde d'abord que le multiplicateur effectif y touche exactement le plafond 1/r. Puis monte les réserves excédentaires seules — c'est ce qui s'est passé après 2008 — et vois le multiplicateur s'effondrer sans qu'aucun taux légal n'ait changé. Cherche enfin le réglage qui reproduit la zone euro (r = 1 %, billets 16,5 %, excédentaires 23,5 %) : tu retomberas sur 2,8.
Interprétation économique
Un modèle faux ne survit pas soixante ans dans les manuels : celui-ci dit trois choses justes, et en inverse une. Voici comment le garder utile plutôt que trompeur.
Un dépôt prêté redevient un dépôt ailleurs — le cours « La création monétaire » le montre au bilan, écriture par écriture : quand tu paies un vendeur d'une autre banque, le dépôt disparaît chez l'une et réapparaît chez l'autre, et des réserves transitent. La cascade de banque en banque n'est donc pas une fiction, et c'est ce qui rend l'intuition du modèle précieuse. Ce qui est faux, c'est de croire qu'elle se déroule jusqu'à son terme arithmétique.
Avant 2008, les banques centrales fournissaient la liquidité au compte-gouttes : les réserves étaient RARES, les banques n'en gardaient presque pas au-delà du minimum, et la fuite e restait proche de r. Le multiplicateur observé collait alors nettement mieux à son plafond, et le taux de réserves était un vrai levier. Ce qui a changé n'est pas l'arithmétique : c'est le régime. Depuis les achats massifs de titres, les réserves sont surabondantes — les banques en détiennent des milliers de milliards de trop —, et le plafond ne contraint plus rien.
À 1 % en zone euro et 0 % aux États-Unis depuis mars 2020, le taux de réserves ne pilote plus le crédit. Mais là où il est fixé haut, il pilote pour de bon : la Chine l'a longtemps relevé et abaissé pour freiner ou relancer le crédit de ses banques, exactement comme le prédit le modèle. Le multiplicateur n'est donc pas « faux partout » : il est sans mordant là où le taux est symbolique, et opérant là où il est contraignant.
Le modèle part de la base et en déduit les crédits. La Bank of England a écrit l'inverse noir sur blanc en 2014, dans son bulletin trimestriel « Money creation in the modern economy » : les banques ne multiplient pas la monnaie de banque centrale, ce sont les crédits accordés qui créent les dépôts, et la banque centrale fournit ensuite les réserves nécessaires — au PRIX qu'elle fixe, non à la quantité qu'elle rationne (cours « Le taux directeur et la transmission »). C'est pourquoi ce cours présente 1/r comme un plafond et non comme un mécanisme de production de monnaie : le débat sur le sens de la flèche appartient au cours « La création monétaire ».
Limites / critiques
Exercices
Le taux de réserves obligatoires est de 20 %. Quel est le multiplicateur monétaire du modèle ?
Base monétaire = 100 Md€, taux de réserves = 5 %. Combien vaut la VAGUE 2 de la cascade, c'est-à-dire le deuxième dépôt issu du prêt initial (en Md€, deux décimales) ?
Pourquoi 1/r est-il un PLAFOND et non une prédiction ?
Vrai ou faux : puisque le taux de réserves de la zone euro est de 1 %, le multiplicateur monétaire y est proche de 100.
Base monétaire = 300 Md€, taux de réserves = 20 %. Quelle masse monétaire MAXIMALE le modèle autorise-t-il (en Md€) ?
On observe un multiplicateur de 4. Quel taux de réserves le modèle du manuel supposerait-il (en %) ?
Le public garde 20 % des dépôts en billets (c = 20 %) et les banques détiennent 30 % des dépôts en réserves (e = 30 %). Quel est le multiplicateur EFFECTIF (deux décimales) ?
Vrai ou faux : le modèle du multiplicateur suppose que les réserves existent AVANT les crédits, et c'est précisément l'hypothèse que le cours « La création monétaire » retourne.