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Évaluer une action : le modèle de Gordon-Shapiro
Combien vaut une action ? La somme actualisée de tous ses dividendes futurs.
P = D₁ / (r − g)Énoncé / motivation
Une action ne promet ni coupon fixe ni remboursement (cours « Action ou obligation ? ») : des dividendes votés année après année, incertains, sans échéance. Comment lui donner un prix aujourd'hui ?
Le cours « Prix d'une obligation et taux d'intérêt » a livré le geste : la valeur d'un titre est la somme de ses flux futurs ACTUALISÉS — chaque euro de demain divisé par (1 + r) autant de fois que d'années d'attente. Pour une obligation, les flux s'arrêtent à l'échéance ; on additionne quelques termes et c'est fini. Pour une action, les dividendes ne s'arrêtent JAMAIS : il faudrait en additionner une infinité. Une somme sans fin qui donnerait un prix fini ?
Oui — c'est tout l'objet de ce cours. Gordon et Shapiro (1956) ont montré que si le dividende croît à un taux constant g et que le taux exigé r reste au-dessus, la somme infinie se referme sur une fraction d'une ligne : P = D₁ / (r − g). La formalisation la fait naître sous tes yeux, algèbre comprise ; puis on s'en sert comme les analystes — pour juger si un cours de Bourse est cher ou bon marché.
Hypothèses
À ton avis, quelles hypothèses faut-il poser pour que ce modèle tienne ? Note tes idées — aucune piste n'est mauvaise, c'est ton plan de travail.
Ton plan de travail est encore vide. Lance-toi : propose au moins une idée.
0 idée(s) proposée(s)Formalisation
Tout part du cours « Prix d'une obligation et taux d'intérêt » : recevoir X € dans n années vaut X ÷ (1 + r)ⁿ aujourd'hui — placer, c'est multiplier ; actualiser, c'est diviser. Le prix d'une action est donc la somme de tous ses dividendes actualisés : P = D₁/(1 + r) + D₂/(1 + r)² + D₃/(1 + r)³ + … sans fin. D pour Dividende, l'indice pour l'année : D₁ est celui de l'an prochain (D₀, le dernier versé, est déjà encaissé — il ne compte plus dans le prix, mais il servira à estimer D₁).
Entre l'hypothèse 1 : chaque dividende vaut le précédent × (1 + g), donc D₂ = D₁(1 + g), D₃ = D₁(1 + g)², etc. Chaque terme de la somme vaut alors le précédent × (1 + g)/(1 + r) — un rapport constant, que les matheux appellent la RAISON de la suite. Si r > g (hypothèse 2), cette raison est plus petite que 1 : les termes FONDENT, comme 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … qui totalise 2, pas l'infini. Les matheux appellent cette suite une SÉRIE GÉOMÉTRIQUE — et sa somme est connue.
Pour une série géométrique qui fond, total = premier terme ÷ (1 − raison). Ici : P = [D₁/(1 + r)] ÷ [1 − (1 + g)/(1 + r)]. Le crochet se simplifie : 1 − (1 + g)/(1 + r) = (r − g)/(1 + r), et les (1 + r) s'annulent. Reste P = D₁ / (r − g) : trois lignes d'algèbre, et la fraction de l'en-tête est née — la condition r > g offerte par le même calcul. Les financiers appellent ce résultat une RENTE PERPÉTUELLE CROISSANTE : des versements sans fin, en croissance régulière.
Retourne la fraction : r = D₁/P + g. Le taux exigé se décompose en rendement sur dividende (D₁/P) plus croissance (g) — car sous ces hypothèses le PRIX monte lui aussi de g chaque année (l'an prochain : P′ = D₂/(r − g) = P × (1 + g)). Ton R du cours « Rendement et risque » retrouve exactement ses deux morceaux : le revenu versé, la plus-value. Clique chaque terme :
Résolution / calcul
Une entreprise mature vient de verser D₀ = 5,00 € ; on anticipe g = 2 % ; les actionnaires exigent r = 8 %. (Au sondage, les 5 € étaient D₁ — prix 83,33 €. Ici les 5,00 € sont D₀, un cran plus tôt : regarde ce que ça change.) Calculons, vérifions dans les deux sens, puis manipule.
- Le dividende de l'an prochain
D₁ = 5,00 × 1,02D₁ = 5,10 € - L'écart au dénominateur
r − g = 0,08 − 0,02= 0,06 (6 points d'écart : 8 − 2) - Gordon-Shapiro
P = 5,10 / 0,06P = 85,00 € - Vérification, lecture inverse
5,10/85 + 0,02= 6 % + 2 % = 8 % = r ✓
L'action vaut 85 € — soit 16,7 fois son dividende (les financiers disent : un MULTIPLE de 16,7, c'est 1/(r − g)). Et la lecture inverse retombe sur r : 6 % de rendement sur dividende + 2 % de croissance. Si cette action cote 70 € en Bourse, Gordon la dit sous-évaluée ; à 110 €, surévaluée — sauf si le marché anticipe un autre g que toi (interprétation).
P = D₁ / (r − g)Règle D₁, r et g : le prix, son multiple, la lecture inverse et le coût d'un point de taux se déduisent. Reproduis la limite 1 : amène r − g à 0,1 point (r = 3 %, g = 2,9 %) et regarde le prix s'envoler.
Interprétation économique
Une formule d'une ligne, trois usages : évaluer, comprendre les multiples, comprendre la nervosité des marchés.
La formule fabrique une valeur FONDAMENTALE, à confronter au prix coté : cotée en dessous, l'action paraît sous-évaluée — SELON TES hypothèses (ton g, ton r). Les analystes font aussi le trajet inverse : partir du cours coté et en déduire le g que « le marché price » (le g IMPLICITE) — la même gymnastique que le rendement actuariel du cours « Prix d'une obligation et taux d'intérêt ». L'écart entre ton g et celui du marché, c'est précisément le débat qui fait les acheteurs et les vendeurs.
Plus l'écart r − g est mince, plus le dénominateur est petit et plus P grimpe — le multiple 1/(r − g) passe de 16,7 (écart 6 points) à 50 (écart 2 points). C'est la logique des VALEURS DE CROISSANCE : un g anticipé élevé justifie de payer beaucoup de fois le dividende… tant que l'anticipation tient.
r = taux sans risque + prime de risque (hypothèse 4). Quand la banque centrale relève son taux directeur, le taux sans risque monte, donc r, donc TOUS les dénominateurs r − g du marché : les prix baissent mécaniquement — et d'autant plus fort que l'écart était mince (point 2). Le simulateur le chiffre : +1 point de r sur notre exemple, et le prix passe de 85,00 à 72,86 € (−14,3 %). Symétrique pour g : une révision de croissance déplace le prix tout autant.
Limites / critiques
Exercices
D₁ = 4 €, r = 9 %, g = 3 %. Quel prix (en €) ?
Vrai ou faux : si g devient supérieur à r, la formule donne un prix négatif, à lire « action sans valeur ».
Une action cote 50 € ; D₁ = 2 € ; tu exiges r = 7 %. Quel g « le marché price-t-il » implicitement (en %) ?
Les taux montent d'un point partout. Quelles actions baissent LE PLUS, en proportion ?
Une entreprise VIENT DE VERSER D₀ = 6,00 € ; g = 5 %, r = 10 %. Quel prix (en €) ? (Attention au dividende à utiliser.)
P = 60 €, D₁ = 3 €, g = 1,5 %. Quel taux r les investisseurs exigent-ils implicitement (en %) ?
D₁ = 5,10 €, g = 2 % ; r passe de 8 % à 9 %. Quel est le NOUVEAU prix (en €) ?
Vrai ou faux : si le prix Gordon-Shapiro dépasse le cours coté, l'action est à coup sûr une bonne affaire.