Construisons le premier nombre au lieu de l'annoncer. Prenez n biens. Pour un bien donné — disons le pain —, il existe n − 1 autres biens contre lesquels on peut l'échanger : autant de taux à connaître. Faites-le maintenant pour CHACUN des n biens : cela donne n fois (n − 1) taux, soit le produit n × (n − 1). Voilà d'où vient la multiplication. Mais on a compté deux fois chaque échange : « un pain contre deux poissons » et « deux poissons contre un pain » sont le même taux, énoncé dans les deux sens. On divise donc par 2. Avec 5 biens : 5 × 4 = 20 couples, donc 20 / 2 = 10 taux réellement distincts. Vérifiez-le en les écrivant, ils y sont tous.

Revenons à la double coïncidence, celle que le sondage vous a fait sentir. Vous produisez du pain et voulez du poisson. Une personne croisée au hasard produit du poisson avec une chance sur n ; et à condition qu'elle produise du poisson, elle veut votre pain avec une chance sur n − 1, puisqu'elle désire l'un des n − 1 biens autres que le sien. La probabilité que les deux conditions tombent ensemble vaut donc 1 / [n × (n − 1)]. Et de là au nombre de rencontres, le pas est court : si une tentative sur p réussit, il en faut p en moyenne pour réussir une fois — comme pour obtenir un 6 avec un dé, où une chance sur 6 se paie de 6 lancers en moyenne. Il faut donc environ n × (n − 1) rencontres pour réussir un échange. Regardez bien : c'est le même produit que pour les prix, simplement non divisé par deux. Un seul comptage gouverne les deux obstacles — les prix en sont la moitié, les rencontres le tout.

Introduisons maintenant une unité commune, extérieure aux n biens. Côté taux : chaque bien reçoit un prix dans cette unité, soit n prix au lieu de n(n − 1)/2 — et tous les rapports entre biens s'en déduisent par une division. Côté rencontres : il n'en faut plus deux qui coïncident, mais deux moments séparés. Vous vendez votre pain à qui en veut, sans vous soucier de ce qu'il produit ; vous achetez du poisson à qui en a, sans vous soucier de ce qu'il désire. Le problème de coïncidence n'est pas résolu, il est COUPÉ EN DEUX — et chaque moitié se résout seule. Chiffrons-le, car ce n'est pas gratuit non plus : une personne au hasard veut votre pain avec une chance sur n, il faut donc environ n rencontres pour vendre, puis autant pour trouver le poisson, soit 2n en tout. Comparez à n(n − 1) : le rapport vaut n(n − 1) / 2n, c'est-à-dire (n − 1)/2 — exactement le même rapport que pour les taux. Un seul nombre mesure les deux gains. Clique chaque terme :

Un lecteur attentif objectera : ces 4 950 taux ne sont pas indépendants. Si je sais qu'un pain vaut deux poissons et qu'un poisson vaut trois pommes, je déduis qu'un pain vaut six pommes — je n'avais pas besoin de la troisième cotation. En toute rigueur, n − 1 taux bien choisis suffisent à déterminer tous les autres, soit 99 pour 100 biens. L'objection est juste, et voici la réponse : pour DÉDUIRE un taux par cette chaîne de multiplications, il faut déjà avoir choisi un bien de référence auquel tout rapporter — un système de références cohérent. À la rigueur, une simple chaîne suffirait — pain vers poisson, poisson vers pommes, et ainsi de suite — sans qu'aucun bien ne soit au centre. Mais alors chaque conversion demande de remonter la chaîne, et plus les biens sont éloignés, plus les multiplications s'accumulent. La solution la plus économe est de tout rapporter à UN seul bien, ce qu'on appelle un NUMÉRAIRE : une seule multiplication suffit alors entre n'importe quels deux biens. C'est un argument d'efficacité, pas une nécessité logique — mais c'est la seule solution qu'on observe en pratique, et elle consiste précisément à inventer ce que la monnaie fait. Les 4 950 comptent les cotations qu'un marché décentralisé doit AFFICHER et tenir à jour, paire par paire ; les 99 comptent l'information logiquement irréductible une fois la référence adoptée. Le vrai gain de la monnaie se lit dans cet écart.