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Les intérêts composés
Pourquoi 30 ans à 5 % ne rapportent pas 1 500 € mais 3 322 € — et où se fabrique la différence.
C_final = C × (1 + t)^nÉnoncé / motivation
Vous placez 1 000 € à 5 % par an et n'y touchez plus pendant 30 ans. À votre avis, combien retrouvez-vous ? Attention au piège : la réponse « intuitive » est fausse, mais la plupart des gens se trompent aussi sur le montant de leur erreur.
Le raisonnement spontané est celui des intérêts SIMPLES : 5 % de 1 000 €, soit 50 € par an, donc 1 500 € d'intérêts en 30 ans — et un capital final de 2 500 €, capital de départ compris. C'est déjà un premier piège : 1 500 € sont les intérêts, pas la somme qu'on retrouve.
Mais ce n'est pas ainsi qu'un placement fonctionne : chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts. C'est la CAPITALISATION. Ce cours ne se contentera pas d'annoncer le résultat spectaculaire : il construira la formule année par année, chiffrera exactement ce que la capitalisation ajoute par rapport aux intérêts simples, montrera OÙ ce supplément se fabrique, et finira par les trois questions que tout épargnant se pose — combien de temps pour doubler, ce que coûte le fait d'attendre, et ce que tout cela vaut une fois l'inflation retirée.
Hypothèses
À ton avis, quelles hypothèses faut-il poser pour que ce modèle tienne ? Note tes idées — aucune piste n'est mauvaise, c'est ton plan de travail.
Ton plan de travail est encore vide. Lance-toi : propose au moins une idée.
0 idée(s) proposée(s)Formalisation
Partons de 1 000 € à 5 %. Au bout d'un an, on a le capital PLUS les intérêts : 1 000 + 1 000 × 0,05. En mettant 1 000 en facteur, cela s'écrit 1 000 × (1 + 0,05) = 1 000 × 1,05 = 1 050 €. Voilà d'où sort le (1 + t) : ce n'est pas une convention, c'est « le capital plus ses intérêts », factorisé. La deuxième année, la même opération recommence — mais sur 1 050 € cette fois : 1 050 × 1,05 = 1 102,50 €. Puis 1 102,50 × 1,05 = 1 157,63 €. Remarque bien la différence avec les intérêts simples : la première année rapporte 50 €, la deuxième 52,50 €, la troisième 55,12 €.
Écrivons la troisième année sans passer par les étapes : 1 000 × 1,05 × 1,05 × 1,05. Le facteur 1,05 revient autant de fois qu'il y a d'années — c'est exactement ce que note un EXPOSANT : 1 000 × 1,05³. Au bout de n années, C × (1 + t)ⁿ. Attention à ne pas confondre avec une multiplication : (1 + t) élevé à la puissance 30 vaut 4,32, alors que (1 + t) multiplié par 30 vaudrait 31,5 — le premier donne 4 322 €, le second 31 500 €, ce qui n'a aucun sens. Une puissance, c'est une répétition de multiplications, jamais une multiplication.
La formule répond aussi à la question inverse. Doubler, c'est atteindre un facteur 2 : on cherche le n tel que (1 + t)ⁿ = 2. La réponse exacte s'obtient avec un logarithme — n = ln 2 / ln(1 + t) — mais il existe un raccourci de tête célèbre, la RÈGLE DE 72 : divisez 72 par le taux en pourcentage. À 7 %, 72 ÷ 7 ≈ 10,3 ans, quand le calcul exact donne 10,24. D'où sort ce 72 ? De ln 2 ≈ 0,693, soit 69,3 en pourcentage : on arrondit vers le haut à 72 parce qu'il se divise proprement par 2, 3, 4, 6, 8, 9 et 12, et parce que cet arrondi compense l'approximation pour les taux courants. Le raccourci est excellent entre 4 % et 10 %, et se dégrade aux extrêmes : à 15 %, il annonce 4,8 ans contre 4,96 en réalité.
Un dernier piège, celui qui fait mal appliquer la formule aux produits réels. Si un compte annonce 5 % par an mais capitalise chaque MOIS, on ne calcule pas avec 5 % et 1 période : on calcule avec 5/12 % et 12 périodes. Résultat : (1 + 0,05/12)¹² = 1,05116, soit 5,116 % effectivement gagnés sur l'année au lieu de 5 %. La différence paraît minuscule, mais c'est le même mécanisme que tout le cours — répétée 30 ans, elle ajoute environ 146 € (4 467,74 € au lieu de 4 321,94 €). Retiens la règle : le taux et l'exposant doivent toujours parler de la MÊME période. Clique chaque terme :
Résolution / calcul
Déroulons les 1 000 € à 5 % sur 30 ans jusqu'au bout : le calcul, la comparaison honnête avec les intérêts simples, l'endroit où le supplément se fabrique, puis les trois questions que se pose vraiment un épargnant.
- Les trois premières années, à la main (le récit, temps 1)
1 000 × 1,05 = 1 050 ; 1 050 × 1,05 = 1 102,50 ; 1 102,50 × 1,05 = 1 157,63le même facteur, répété — donc une puissance - Les 30 années d'un coup
1 000 × 1,05^30, avec 1,05^30 = 4,3219C_final = 4 321,94 €, dont 3 321,94 € d'intérêts - La comparaison honnête : les mêmes 30 ans en intérêts SIMPLES
50 € par an × 30 ans = 1 500 € d'intérêts, plus les 1 000 € de départ2 500 € — c'est bien un capital final, pas 1 500 € - Ce que la capitalisation ajoute vraiment
4 322 − 2 500 (ou, sur les seuls intérêts : 3 322 − 1 500)1 822 € — voilà les « intérêts sur intérêts » - Où ce supplément se fabrique
intérêts de la 1re année : 1 000 × 5 % ; de la 15e : 1 000 × 1,05^14 × 5 % ; de la 30e : 1 000 × 1,05^29 × 5 %50 €, puis 99,00 € la 15e année, puis 205,81 € la 30e — plus de quatre fois la première - Le prix de l'attente : commencer 10 ans plus tard, à 40 ans au lieu de 30
1 000 × 1,05^202 653 € au lieu de 4 322 € — 39 % de moins pour dix ans de retard - Combien de temps pour doubler, à 5 % ?
règle de 72 : 72 ÷ 5 = 14,4 ans (exact : ln 2 / ln 1,05 = 14,21 ans)≈ 14 ans — le capital double donc deux fois en 30 ans, et un peu plus - Et en pouvoir d'achat ? On déflate par l'inflation (2 % par an)
4 322 ÷ 1,02^302 386 € d'aujourd'hui — le gain réel est deux fois plus modeste que le gain affiché
Retiens quatre choses, dans cet ordre. La formule n'est pas une convention : (1 + t) est « le capital plus ses intérêts » factorisé, et l'exposant n'est que la répétition de ce facteur. La capitalisation ajoute ici 1 822 € par rapport aux intérêts simples — pas 2 800 €, chiffre qu'on obtient en soustrayant par erreur un montant d'intérêts d'un capital. Ce supplément se fabrique TARD : la trentième année rapporte 206 € quand la première en rapportait 50 et la quinzième 99, ce qui explique pourquoi dix ans de retard coûtent 39 % du résultat. Et surtout, ces 4 322 € sont un chiffre nominal : une fois l'inflation retirée, il ne reste que 2 386 € du pouvoir d'achat d'aujourd'hui. La capitalisation joue dans les deux sens — pour votre épargne, et pour les prix.
composé : C × (1 + t)^n · simple : C × (1 + t × n) · réel : composé ÷ (1 + inflation)^nTrois choses à essayer. Un : compare en permanence les deux colonnes, composé et simple — l'écart est invisible les premières années et devient énorme après vingt ans. Deux : mets la durée à 10 ans puis à 20, et regarde que le résultat fait bien plus que doubler. Trois : monte l'inflation et vois le gain réel fondre pendant que le gain affiché, lui, ne bouge pas.
Interprétation économique
Trois lectures : pourquoi le temps compte plus que le taux, ce que la capitalisation fait quand elle joue contre vous, et l'erreur d'arrondi qui coûte cher sur trente ans.
Comparez deux épargnants. Le premier place 1 000 € à 5 % pendant 30 ans et obtient 4 322 €. Le second, plus habile, décroche 7 % — mais commence dix ans plus tard : 1 000 × 1,07^20 = 3 870 €. Deux points de rendement supplémentaires ne compensent pas dix ans de retard. La raison tient à l'endroit où le gain se fabrique : dans notre exemple, la dernière année rapporte 206 € et la première 50. Ce sont les années finales qui portent le résultat, or ce sont précisément celles qu'on perd en commençant tard. C'est aussi pourquoi une petite somme placée tôt bat souvent une grosse somme placée tard.
Attention à un raccourci répandu : la capitalisation n'érode PAS une dette, elle la gonfle — les intérêts non payés s'ajoutent au capital dû et produisent à leur tour des intérêts. C'est exactement ce que décrit le cours « La dynamique de la dette publique » avec son effet boule de neige, et c'est le mécanisme d'un découvert ou d'un crédit renouvelable. Ce qui érode une dette, c'est autre chose : l'INFLATION, qui allège la valeur réelle d'une somme fixée d'avance. Deux mécanismes opposés qu'on confond souvent parce qu'ils concernent tous deux la dette et le temps.
Pour passer d'un rendement affiché à un rendement réel, on soustrait couramment l'inflation : 5 % moins 3 % font « environ 2 % ». Sur un an, l'approximation est excellente. Sur trente ans capitalisés, elle ne l'est plus : le calcul exact déflate en divisant, (1,05/1,03)^30, et donne 1 781 € de pouvoir d'achat, contre 1 811 € avec le raccourci — un gain réel surestimé de 781 à 811 €, soit près de 4 %. La leçon est cohérente avec le reste du cours : ce qui est négligeable sur une période cesse de l'être quand on le répète. Le cours « Ton épargne bat-elle l'inflation ? » détaille cette division exacte.
Limites / critiques
Exercices
On place 1 000 € à 10 % par an pendant 2 ans, intérêts réinvestis. Quel capital final (en €) ?
À 6 % par an, en combien d'années un capital double-t-il, d'après la règle de 72 ?
Un compte annonce 6 % par an mais capitalise chaque SEMESTRE (3 % tous les six mois). Quel capital final pour 1 000 € au bout d'un an (en €) ?
Deux épargnants placent 1 000 €. L'un obtient 5 % pendant 30 ans, l'autre 7 % mais ne commence que 10 ans plus tard (donc 20 ans de placement). Lequel finit avec le plus ?
Ces mêmes 1 000 € à 10 % pendant 2 ans, mais en intérêts SIMPLES : quel capital final (en €) ?
Vrai ou faux : 1 000 € placés à 5 % rapportent PLUS DU DOUBLE d'intérêts sur 10 ans que sur 5 ans.
Un autre placement atteint 10 000 € au bout de 20 ans, l'inflation ayant été de 3 % par an sur la période. Que valent ces 10 000 € en pouvoir d'achat d'aujourd'hui (en €) ?
Vrai ou faux : la capitalisation des intérêts allège progressivement le poids d'une dette.