Le CAPITAL, ici, ce n'est pas de l'argent : ce sont les machines, les bâtiments, les routes, les ordinateurs — tout ce qui a été produit et qui sert à produire. Notons K ce stock pour le pays entier, L le nombre de travailleurs, et **k = K/L** le capital par tête. Grâce aux rendements d'échelle constants (hypothèse 1), la production par tête ne dépend que de lui. L'algèbre du passage tient en une ligne : si doubler les deux facteurs double la production, alors diviser les deux par L divise la production par L — soit F(K, L)/L = F(K/L, 1). Le membre de droite ne dépend plus que de k, et on le note f(k). D'où **y = f(k)**. Nous prendrons f(k) = √k, une racine carrée : elle monte, mais de moins en moins vite — passer de 1 à 4 machines fait passer la production de 1 à 2, mais passer de 4 à 9 ne la fait passer que de 2 à 3. Voilà les rendements décroissants, en deux nombres. (La forme générale s'écrit k^α ; α mesure la part du capital dans la valeur ajoutée, environ 1/3 dans les données. Nous prenons α = 1/2 pour que tous les calculs tombent juste, et le simulateur permettra de tester 1/3.)

Que devient le stock de capital d'une année sur l'autre ? Deux forces s'opposent. Ce qui l'AUGMENTE : l'investissement. Les ménages épargnent une part s de leur revenu, et cette épargne devient investissement (hypothèse 3) : cela ajoute s·f(k) par tête. Ce qui le DIMINUE : d'abord l'usure — une part δ du stock part en rouille et en obsolescence chaque année, soit δ·k. Ensuite la démographie : si la population croît au rythme n, le même stock doit être partagé entre plus de têtes, ce qui abaisse le capital PAR TÊTE d'environ n·k — le capital n'a pas disparu, il est dilué. Les deux se cumulent en un seul besoin d'entretien, (n + δ)·k. D'où l'équation fondamentale du modèle, celle qui manquait : **Δk = s·f(k) − (n + δ)·k**. En mots : le capital par tête augmente de ce qu'on investit, moins ce qu'il faut pour maintenir l'existant. Tout le cours consiste à lire cette ligne.

Comparons les deux termes. Le premier, s·f(k) = s·√k, monte en s'aplatissant : c'est la concavité de l'hypothèse 2. Le second, (n + δ)·k, est une droite partant de zéro : le besoin d'entretien est proportionnel au stock. Une courbe qui s'aplatit et une droite qui monte régulièrement se croisent nécessairement une fois — et une seule pour k > 0. (Elles se touchent aussi en k = 0, mais ce point ne nous intéresse pas : c'est l'économie sans une seule machine, qui ne produit rien et ne peut rien investir. On l'écarte, et il ne reste qu'un croisement.) Ce point, noté k*, est l'ÉTAT STATIONNAIRE : là, Δk = 0, le capital ne bouge plus. Reste à montrer qu'on y va, et c'est le signe de Δk qui le dit. Prenons s = 20 % et δ = 5 % (avec n = 0 pour simplifier). À k = 4 : on investit 0,20 × √4 = 0,40, il faut entretenir 0,05 × 4 = 0,20 — l'investissement l'emporte, Δk = + 0,20, le capital MONTE. À k = 25 : on investit 0,20 × 5 = 1,00, il faut entretenir 0,05 × 25 = 1,25 — l'entretien l'emporte, Δk = − 0,25, le capital DESCEND. Sous k* on monte, au-dessus on descend : le point est unique, et il est STABLE. Quel que soit son point de départ, l'économie y atterrit.

Résolvons d'abord k*. Poser Δk = 0 donne s·√k* = δ·k*. On peut diviser par √k* — non nul, puisque k* = 0 est l'autre solution, celle d'une économie sans rien — et il reste s = δ·√k*, donc **k* = (s/δ)²** et y* = s/δ. Avec s = 20 % et δ = 5 % : k* = 4² = 16 et y* = 4. Doublons l'épargne, s = 40 % : k* = 64, y* = 8. Le capital quadruple, la production double : plus d'épargne donne bien un niveau plus élevé. Mais que CONSOMME-t-on ? Pas y*, seulement ce qui reste une fois l'entretien payé : c* = y* − δ·k*. À s = 20 % : 4 − 0,8 = 3,2. À s = 50 % : k* = 100, y* = 10, entretien 5, donc c* = 5,0. À s = 70 % : k* = 196, y* = 14, entretien 9,8, donc c* = 4,2 — moins qu'à 50 %, pour une production pourtant bien supérieure. Trois points ne font pas une preuve, alors démontrons-le en deux lignes, sans aucune dérivée. Remplaçons : c* = y* − δ·k* = s/δ − δ·(s/δ)² = (s − s²)/δ. Reconnais une parabole en s. Complète le carré au numérateur : s − s² = − (s² − s) = − (s − ½)² + ¼. Donc **c* = [¼ − (s − ½)²] / δ**. Le carré étant toujours positif ou nul, on retire toujours quelque chose à ¼ — sauf en un point : s = ½, où le carré s'annule. Le maximum est donc atteint exactement en **s = ½ = α**, et il vaut 1/(4δ) = 5. C'est la RÈGLE D'OR, et l'on voit du même coup pourquoi elle est symétrique : épargner 30 % ou 70 %, soit vingt points de part et d'autre, donne rigoureusement la même consommation. Au-delà, le pays travaille pour ses machines. Clique chaque terme :