Prix d'une obligation et taux d'intérêt
Pourquoi une obligation perd de la valeur quand les taux montent.
Prix = Σ coupon / (1 + r)ⁿ + faciale / (1 + r)ᴺÉnoncé / motivation
Tu détiens une obligation qui verse 3 % par an. La banque centrale relève ses taux et les nouvelles obligations rapportent désormais 5 %. Que vaut la vôtre ?
Commençons par l'objet. Une obligation, c'est un PRÊT découpé en morceaux revendables : un État ou une entreprise emprunte en émettant des titres. Qui achète un titre de 1 000 € prête 1 000 €, touche chaque année un intérêt fixé d'avance (le COUPON : ici 3 %, soit 30 €), et récupère ses 1 000 € à une date convenue (l'ÉCHÉANCE). Ce montant remboursé à la fin s'appelle la valeur FACIALE.
Si tu gardes le titre jusqu'au bout, l'histoire s'arrête là : 30 € par an, puis 1 000 €. Mais il existe un marché de l'occasion : tu peux revendre ton obligation avant l'échéance. Et là, une question surgit : combien vaut AUJOURD'HUI ce papier qui promet de l'argent DEMAIN ? La réponse de l'accroche est déjà claire : personne ne te paiera le prix plein pour ton 3 % quand le neuf rapporte 5 %. Ton prix doit baisser jusqu'à redevenir compétitif. Reste à savoir DE COMBIEN : c'est tout l'objet du cours, et la clef de la relation la plus contre-intuitive des marchés (prix et taux varient en sens inverse).
Hypothèses
À ton avis, quelles hypothèses faut-il poser pour que ce modèle tienne ? Note tes idées — aucune piste n'est mauvaise, c'est ton plan de travail.
Ton plan de travail est encore vide. Lance-toi : propose au moins une idée.
0 idée(s) proposée(s)Formalisation
Reprenons notre obligation : faciale 1 000 €, coupon 30 €, échéance 3 ans. La posséder, c'est détenir trois rendez-vous d'argent : 30 € dans un an, 30 € dans deux ans, 1 030 € dans trois ans (dernier coupon + remboursement). Son prix d'aujourd'hui doit résumer ces trois promesses en un seul nombre. Et pour cela, il faut savoir convertir de l'argent futur en argent d'aujourd'hui.
La conversion vient du placement alternatif (hypothèse 3). Au taux du marché r = 5 %, 100 € d'aujourd'hui deviennent 105 € dans un an : recevoir X € dans un an vaut donc X ÷ 1,05 aujourd'hui. Dans deux ans, l'argent aurait fructifié DEUX fois (× 1,05 × 1,05 = × 1,05²) : X € dans deux ans valent X ÷ 1,05². Retiens le pont : « placer à 5 % » = « multiplier par 1,05 » ; actualiser, c'est refaire le trajet à l'envers (diviser). Voilà pourquoi on divise, et jamais on ne retranche.
Le prix additionne chaque rendez-vous converti : Prix = coupon ÷ (1+r)¹ + coupon ÷ (1+r)² + (coupon + faciale) ÷ (1+r)³. Pour une échéance quelconque, on note n le numéro de l'année (1, 2, 3…) et N l'échéance : le symbole Σ (« sigma ») n'est qu'un raccourci qui dit « additionne les N morceaux ». C'est la formule de l'en-tête, et c'est exactement la somme que le simulateur déroule pour l'échéance N que tu choisiras.
Un repère avant de calculer. Si le marché exige exactement ce que le coupon donne (r = 3 %), l'actualisation redonne la faciale au centime : 30 ÷ 1,03 + 30 ÷ 1,03² + 1 030 ÷ 1,03³ = 1 000 € tout rond. On dit que le titre cote AU PAIR. Tout le reste s'en déduit : marché plus exigeant que le coupon (r > 3 %) → prix SOUS le pair (on dit que le titre DÉCOTE) ; marché moins exigeant → AU-DESSUS. Clique chaque terme :
Résolution / calcul
Notre obligation (faciale 1 000 €, coupon 30 €, 3 ans), mais le marché est passé à 5 %. Déroulons la formule flux par flux, vérifions le pivot, puis manipule.
- Coupon de l'année 1, actualisé
30 / 1,05≈ 28,57 € - Coupon de l'année 2 (deux ans d'attente : on divise deux fois)
30 / 1,05²≈ 27,21 € - Année 3 : dernier coupon + remboursement de la faciale
(30 + 1 000) / 1,05³≈ 889,75 € - Le prix : la somme des trois rendez-vous convertis
28,57 + 27,21 + 889,75≈ 945,54 € (somme exacte ; sur les arrondis affichés, ta calculette dira 945,53 : normal) - Contre-vérification au pivot : si le marché exigeait 3 % (= le coupon)
30/1,03 + 30/1,03² + 1 030/1,03³= 1 000 € exactement : au pair ✓
À 5 %, le titre ne vaut plus que 945,54 € : environ 54,5 € de moins que sa faciale, soit −5,4 %. Rien n'a changé dans ses promesses (30 €, 30 €, 1 030 €) mais chaque promesse est désormais divisée par un taux plus exigeant. Et la bascule est lisible au pivot : coupon 3 % face à un marché à 5 % → sous le pair ; face à un marché à 2 % → au-dessus. Le simulateur te laisse tout régler, y compris l'échéance, pour voir qu'un titre LONG encaisse bien plus fort.
Prix = Σ coupon/(1+r)ⁿ + faciale/(1+r)ᴺRègle le taux du marché, le coupon, la faciale et l'ÉCHÉANCE : le prix se recalcule en actualisant chaque flux. Cherche le pair (r = taux du coupon), puis pousse l'échéance pour sentir la sensibilité.
Interprétation économique
Trois flux et une division : il n'en faut pas plus pour lire des pans entiers de la finance, et tes propres placements.
Détenir une obligation, c'est être exposé aux taux : s'ils montent, ton titre perd en capital alors même que l'émetteur honore chaque versement. C'est l'exercice 3. Et plus l'échéance est LOINTAINE, plus la perte est forte : les flux éloignés subissent la division année après année (pousse le curseur d'échéance du simulateur : mêmes conditions, N = 2 puis N = 10). Les professionnels résument cette sensibilité en un chiffre, la DURATION, soit, en première approche, la durée moyenne d'attente des flux, où chaque flux compte à proportion de sa part dans le prix : nos petits coupons pèsent peu, le gros remboursement final presque tout, d'où une duration proche de 3 ans pour notre titre. Retiens surtout l'idée : plus c'est long, plus ça bouge.
Jusqu'ici : taux → prix. Les investisseurs font aussi le trajet INVERSE : partir du prix observé et chercher le taux qui égalise prix et flux actualisés. Ce taux s'appelle le rendement actuariel, et c'est LUI qu'on compare d'un titre à l'autre, jamais le coupon affiché. Sur un cas à un flux, le trajet se fait de tête : payer 970 € un titre qui versera 1 030 € dans un an, c'est gagner 1 030 ÷ 970 − 1 ≈ 6,2 %, quel que soit son coupon d'origine. D'où la règle : sous le pair, l'actuariel DÉPASSE le taux du coupon (on encaisse les coupons ET la remontée vers la faciale).
Le cours « Rendement et risque » posait l'énigme : pourquoi une obligation à 12 % quand l'État paie 3 % ? Réponse par notre formule : si les prêteurs doutent d'être remboursés, ils exigent un r bien plus haut. Et un r plus haut écrase le prix des promesses. À flux promis égaux, le titre douteux vaut moins ; l'écart de taux exigé est la prime de défaut : le « spread », dans le jargon des marchés. Le rendement affiché rémunère le doute, pas la générosité.
Relis l'accroche : « la banque centrale relève ses taux ». Le taux directeur se transmet aux taux de marché (cours « Le taux directeur et la transmission »), et chaque hausse fait mécaniquement baisser le prix des obligations déjà émises : celles des épargnants, des assurances-vie, des banques. Et cette logique d'actualisation ne s'arrête pas aux obligations : évaluer une ACTION, c'est actualiser ses dividendes futurs. Le cours « Évaluer une action : le modèle de Gordon-Shapiro » applique exactement le même geste.
Limites / critiques
Exercices
Les taux du marché BAISSENT de 4 % à 2 %. Le prix d'une obligation à coupon fixe déjà émise va…
Ton obligation cotait 1 040 € hier ; après une hausse des taux, elle cote 988 €. Quelle perte en capital, en % (÷ prix de départ) ?
Obligation ZÉRO-COUPON : aucun coupon, faciale 1 000 € versée dans un an. Taux du marché 4 %. Quel est son prix (en €) ?
Vrai ou faux : une obligation dont le coupon égale exactement le taux du marché cote au pair.
Faciale 1 000 €, coupon 50 € (5 %), échéance 2 ans, taux du marché 10 %. Quel est le prix (en €, à 2 € près) ?
Tu paies 960 € un titre qui versera 1 020 € dans un an (dernier coupon + faciale). Quel est ton rendement actuariel (en %) ?
Deux obligations identiques (coupon 3 %), échéances 2 ans et 10 ans. Les taux montent d'un point. Laquelle perd le plus ?
L'État emprunte à 3 % ; une entreprise fragile doit promettre 12 %. Pourquoi ?