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La comptabilité de la croissance
Attribuer une croissance observée à ses moteurs — et lire honnêtement le résidu qui reste.
gᵧ = α·g_K + (1−α)·g_L + g_AÉnoncé / motivation
Un pays voit son PIB croître de 4 % par an. Combien vient des usines qu'il a ajoutées, combien des bras qu'il a embauchés, et combien du seul fait de produire MIEUX avec les mêmes ? La méthode qui répond s'appelle la comptabilité de la croissance — et la première fois qu'on l'a appliquée, sa réponse a réorienté toute la discipline.
Elle part d'une façon d'écrire la production : Y = A·Kᵅ·L¹⁻ᵅ, où K est le capital (machines, bâtiments, infrastructures), L le travail (heures, bras), et A une efficacité d'ensemble — à quel point on tire parti des deux. Cette forme s'appelle une fonction de production Cobb-Douglas, et elle n'est pas choisie au hasard : c'est elle qui rendra l'exposant α MESURABLE, on verra comment.
Ce cours fait trois choses. Il DÉMONTRE les deux règles qui font passer des niveaux aux taux de croissance — la plupart des exposés les admettent en renvoyant aux logarithmes ; ici elles se prouvent en trois lignes d'arithmétique, et on chiffrera ce que le raccourci coûte. Il décompose ensuite une croissance observée en trois contributions. Et il finit par la question qui compte : quel est le STATUT du troisième terme ? ⚠️ Ce n'est pas une prévision, et cette méthode n'est pas un modèle : elle ne prédit rien, elle attribue après coup. C'est ce qui la sépare du cours « Le modèle de Solow », qui utilise la même algèbre pour prédire.
Hypothèses
À ton avis, quelles hypothèses faut-il poser pour que ce modèle tienne ? Note tes idées — aucune piste n'est mauvaise, c'est ton plan de travail.
Ton plan de travail est encore vide. Lance-toi : propose au moins une idée.
0 idée(s) proposée(s)Formalisation
Écrivons la production comme un PRODUIT de trois choses : Y = A·Kᵅ·L¹⁻ᵅ. Le capital K et le travail L sont les facteurs ; A est l'efficacité avec laquelle on les combine — ce que les économistes appellent la productivité globale des facteurs, PGF (TFP en anglais). L'exposant α, entre 0 et 1, dose le poids du capital. Pourquoi cette forme plutôt qu'une autre ? Parce qu'elle a une propriété qu'aucune écriture plus générale n'offre : α y est un nombre FIXE, et sous concurrence parfaite ce nombre est exactement la part du capital dans le revenu national (hypothèse 3) — soit environ un tiers dans les données. On peut donc calibrer le modèle sans jamais estimer la fonction de production : il suffit de lire les comptes nationaux. C'est un choix commode, pas une loi de la nature (limites 2 et 4).
Nous voulons passer des niveaux aux taux de croissance. Première brique : quand deux grandeurs se multiplient, leurs taux s'additionnent. Démonstration, sans logarithme : si l'une est multipliée par (1 + a) et l'autre par (1 + b), le produit est multiplié par (1 + a)(1 + b) = 1 + a + b + **ab**. Tout est là : on retrouve la somme a + b, plus un terme croisé ab. Chiffrons-le sur notre cas — capital +6 %, travail +1 % : 1,06 × 1,01 = 1,0706, soit +7,06 % quand la somme annonce 7 %. Le terme croisé coûte 6 centièmes de point. C'est le même pont que celui du cours « Les causes de l'inflation » (où M·V = P·Y devient g(M) + g(V) ≈ π + g(Y)) : une seule règle, trois cours du site — et c'est de là que vient le « ≈ » qu'on verra apparaître.
Seconde brique, celle qu'on admet toujours : si K croît de g, de combien croît Kᵅ ? Prenons le cas qui nous intéresse, α = 1/3 — il s'agit donc d'une racine cubique. Essayons la réponse 1 + g/3 et vérifions-la en l'élevant au cube : (1 + g/3)³ = 1 + g + g²/3 + g³/27. Les deux derniers termes sont minuscules pour de petits g, donc (1 + g/3)³ ≈ 1 + g — autrement dit **(1 + g)^(1/3) ≈ 1 + g/3**, ce qu'il fallait démontrer. Contrôle numérique à g = 6 % : notre approximation donne 1,061208 au lieu de 1,06, et la racine cubique exacte de 1,06 vaut 1,0196 — soit +1,96 % là où la règle annonce 6/3 = 2 %. Quatre centièmes de point d'écart. Le raisonnement vaut pour n'importe quel α (avec une puissance 1/α à la place du cube) : plus besoin de logarithme, et surtout on SAIT maintenant ce que la règle néglige.
Assemblons. Y est le produit de A, de Kᵅ et de L¹⁻ᵅ : par la première règle, son taux de croissance est la somme des trois taux ; par la seconde, celui de Kᵅ vaut α·g_K et celui de L¹⁻ᵅ vaut (1 − α)·g_L. D'où **gᵧ = α·g_K + (1 − α)·g_L + g_A**. Lis-la de gauche à droite : la croissance observée est la SOMME de trois contributions — capital, travail, efficacité. Puis retourne-la : g_A = gᵧ − α·g_K − (1 − α)·g_L. ⚠️ Et mesure ce que cette seconde écriture implique : g_A n'apparaît nulle part dans les données, il est DÉFINI comme ce qui reste. C'est ce qu'on appelle le résidu de Solow, et c'est tout le sujet de la fin du cours. Clique chaque terme :
Résolution / calcul
Décomposons une croissance observée, puis vérifions que les deux règles démontrées plus haut ne nous ont pas menti — un contrôle que presque aucun exposé ne fait. Les données : gᵧ = 4 %, g_K = 6 %, g_L = 1 %, et α = 1/3 lu dans les comptes nationaux.
- 1. Ce qu'on observe, et ce qu'on suppose
mesurés : gᵧ = 4 % · g_K = 6 % · g_L = 1 % ‖ calibré : α = 1/3trois mesures et un paramètre — le résidu, lui, n'est pas dans la liste - 2. La contribution du capital
α · g_K = (1/3) × 6= 2,00 points - 3. La contribution du travail
(1 − α) · g_L = (2/3) × 1≈ 0,67 point - ⭐ 4. Le résidu, par SOUSTRACTION (et par rien d'autre)
g_A = gᵧ − α·g_K − (1 − α)·g_L = 4 − 2,00 − 0,67g_A ≈ 1,33 point - 5. Ce que la PGF pèse dans la croissance
1,33 / 4 × 100≈ 33 % — un tiers attribué à un facteur qu'aucune machine ne contient - ⭐ 6. Les deux règles ont-elles menti ? Contrôle en calcul EXACT
facteurs : 1,06^(1/3) × 1,01^(2/3) = 1,026399 ‖ résidu : 1,04 / 1,026399 − 1contribution des facteurs 2,64 % contre 2,67 par les règles, et résidu 1,33 % contre 1,33 : le raccourci coûte 3 centièmes de point - 7. La même décomposition PAR TRAVAILLEUR, par deux chemins
gᵧ − g_L = 4 − 1 ‖ α·(g_K − g_L) + g_A = (1/3) × 5 + 1,333,00 % des deux côtés — la croissance par tête vient de l'intensification capitalistique et du résidu - ⚠️ 8. Ce que la décomposition ne dit pas
pourquoi g_A vaut-il 1,33 plutôt que 0 ?la méthode n'en dit rien — elle attribue, elle n'explique pas
Trois choses à emporter. (1) La formule n'est pas tombée du ciel : elle sort de deux règles d'arithmétique démontrables au brouillon, et le contrôle exact de l'étape 6 montre que le raccourci ne coûte que trois centièmes de point à ces ordres de grandeur. (2) Sur 4 points de croissance, 2 sont attribués au capital, 0,67 au travail, et 1,33 restent — mais « restent » est le mot juste : ce troisième nombre est un solde, obtenu en retirant de la croissance observée tout ce qu'on savait compter. (3) C'est pourquoi la lecture demande de la prudence : un résidu qui grossit peut signaler une accélération de l'innovation… ou une mesure des facteurs devenue trop généreuse. L'interprétation tranche ce que l'on peut, et seulement ce que l'on peut, en tirer.
g_A = gᵧ − α·g_K − (1 − α)·g_LCe simulateur imite exactement la méthode : tu règles ce qu'un statisticien MESURE — la croissance observée et celle des deux facteurs — et le résidu se déduit par soustraction. ⚠️ Un mot sur α, qui se règle ici au point de pourcentage : à 33 % le capital pèse 1,98 point et le résidu 1,35, là où la résolution — qui suppose exactement un tiers — donne 2,00 et 1,33. Deux centièmes d'écart, et ce sont ceux de l'arrondi du curseur, pas d'une erreur de calcul. Trois choses à essayer. Un : monte g_K seul et regarde le résidu fondre d'autant, sans qu'aucune innovation n'ait disparu. Deux : reproduis Solow 1957 en poussant la part de la PGF au-delà de 80 %. Trois : compare en permanence la dernière ligne — l'écart entre les règles et le calcul exact — et vois-le grandir avec les taux.
- Capital 1,98
- Travail 0,67
- Résidu (PGF) 1,35
- gᵧ observé 4 %
Interprétation économique
La décomposition est arithmétiquement irréprochable ; c'est son INTERPRÉTATION qui demande de la discipline. Quatre lectures, dont deux mises en garde qu'on saute presque toujours.
La formule de Moses Abramovitz est restée parce qu'elle est exacte : g_A capte le vrai progrès technique, mais aussi les erreurs de mesure du capital et du travail, les gains d'organisation, les effets d'échelle non modélisés, les changements de composition de la main-d'œuvre, et jusqu'aux imperfections de l'indice de prix qui a servi à calculer gᵧ (cours « PIB nominal vs réel »). Tout ce qui n'a pas été compté ailleurs est là. C'est pourquoi un résidu de 87 % n'est pas la preuve que le progrès technique explique 87 % de la croissance : c'est la mesure de ce que le capital et le travail, TELS QU'ON LES A COMPTÉS, n'expliquent pas.
Accumuler du capital bute sur les rendements décroissants : cela élève le NIVEAU de revenu de long terme sans installer durablement un taux de croissance plus élevé. Seule une PGF qui croît continûment soutient une croissance permanente du PIB par habitant. Ce résultat n'est pas démontré ici — il l'est dans le cours « Le modèle de Solow », qui prouve que l'accumulation seule s'épuise et que la croissance de long terme se réduit à celle de A. La comptabilité de la croissance, elle, en fournit la mesure empirique : c'est elle qui a montré que ce A pesait l'essentiel.
Voici le point qui distingue un usage rigoureux d'un usage abusif. Puisque g_A est DÉFINI comme gᵧ − α·g_K − (1 − α)·g_L, l'équation est vraie par construction, quelles que soient les données : elle ne peut pas être démentie, donc elle ne prédit rien. Ce qui se teste, ce sont les hypothèses qui rendent α mesurable et les mesures qui alimentent les trois premiers termes. C'est exactement la grille du cours « La théorie quantitative de la monnaie », où M·V = P·Y est une identité irréfutable qui ne devient une théorie qu'en pariant sur la stabilité de V : la formule mesure, les hypothèses qualifient. Retiens la conséquence pratique : « la comptabilité de la croissance montre que… » est une formulation qui doit toujours être suivie d'un « sous réserve que le capital soit correctement mesuré ».
Cette décomposition circule ailleurs sous d'autres noms, et les rapprocher éclaire les trois. Dans « La loi d'Okun », le « tapis roulant » — la croissance potentielle comme somme des gains de productivité et de l'arrivée de nouveaux actifs — est cette même comptabilité en version agrégée : ce qu'Okun appelle productivité réunit ce que ce cours sépare, la PGF et l'intensification capitalistique. Dans « Le modèle de Solow », le résidu devient le A que le modèle pose de l'EXTÉRIEUR, sans l'expliquer — et c'est ce constat, né de la mesure, qui a lancé les théories de la croissance endogène. Ici, enfin, ce n'est ni un potentiel ni un paramètre : c'est un solde qu'on calcule sur des données observées. Une algèbre, trois statuts.
Limites / critiques
Exercices
α = 0,3 ; g_K = 5 % ; g_L = 2 % ; g_A = 1,5 %. Calculez la croissance du PIB gᵧ (en %).
α = 1/3 et le capital croît de 9 %. Quelle contribution du capital la règle du cours annonce-t-elle (en points) ?
Dans la comptabilité nationale d'un pays, les revenus du capital représentent 300 Mds € sur un revenu national de 1 200 Mds €. Sous les hypothèses du cours, quelle valeur de α retenir ?
Un institut statistique découvre qu'il SOUS-estimait la croissance du capital (capital immatériel oublié). Une fois la mesure corrigée, le résidu de Solow recalculé sera…
Le capital est multiplié par 1,06 et le travail par 1,02. De combien leur PRODUIT augmente-t-il exactement (en %, deux décimales) ?
Un pays croît de 3 % (gᵧ). Avec α = 1/3, g_K = 3 % et g_L = 3 %, calculez le résidu de Solow g_A (en %).
α = 1/3 ; le capital croît de 4 %, le travail de 1 %, la PGF de 1 %. De combien croît le PIB PAR TRAVAILLEUR (en %) ?
Vrai ou faux : si la décomposition ne collait pas aux données d'un pays, on en conclurait que l'équation de la comptabilité de la croissance est fausse.